In matematica e in particolare in algebra astratta, dato un magma
con elemento neutro
per ogni elemento
è possibile definire inverso destro di
un elemento
tale che
e inverso sinistro di
un elemento
tale che
Se l'operazione binaria
è associativa, allora si ha che:
- L'inverso destro e l'inverso sinistro di
se esistono, coincidono. Infatti ![{\displaystyle s_{x}=s_{x}\cdot 1=s_{x}\cdot (x\cdot d_{x})=(s_{x}\cdot x)\cdot d_{x}=1\cdot d_{x}=d_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e4bd027c4a776a1a192e2939394604858923de)
- L'inverso di
se esiste, è unico. Infatti, siano
e
due inversi dell'elemento
allora
Si indica allora l'unico elemento inverso di
con ![{\displaystyle x^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d686441acca0e660bc3343d83f1083adfb3dc3)
- L'elemento
è l'inverso di
(segue dalla definizione di inverso).
- Ogni elemento commuta con il suo inverso. Infatti,
![{\displaystyle x\cdot x^{-1}=1=x^{-1}\cdot x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c246faec70d85c062fe08f6a48490a4403b483)
- L'inverso dell'inverso è l'elemento stesso. Infatti, sia
che
sono inversi di
. Allora, per l'unicità dell'inverso, abbiamo che ![{\displaystyle x=(x^{-1})^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a80de728c9040c3eaf9113da0d5ab8b492303e)
- Se
e
hanno un inverso, allora l'inverso di
è
Infatti, ![{\displaystyle (x\cdot y)\cdot (y^{-1}\cdot x^{-1})=x\cdot (y\cdot y^{-1})\cdot x^{-1}=x\cdot 1\cdot x^{-1}=x\cdot x^{-1}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cb471373e536ec65606d4671c52233381d435f)