In meccanica quantistica il gradino di potenziale (o salto di potenziale) è un potenziale proporzionale al gradino di Heaviside:

${\displaystyle V(x)=V_{0}\Theta (x)={\begin{cases}0&x<0\\V_{0}&x>0\end{cases}}}$

Questo tipo di studio quantistico è tipico di un fascio di particelle quantistiche che viaggiano nella direzione positiva dell'asse x: per ${\displaystyle x<0}$ le particelle sono libere, per ${\displaystyle x>0}$ sono sottoposte ad un potenziale costante ${\displaystyle V_{0}}$. Nella meccanica classica le particelle che arrivano alla barriera di potenziale con ${\displaystyle E>V_{0}}$ superano il gradino di potenziale e proseguono con energia minore e quindi con velocità minore; per ${\displaystyle E<V_{0}}$ le particelle classiche rimbalzano e riprendono il moto nella direzione opposta. Vedremo che in meccanica quantistica per ${\displaystyle E<V_{0}}$ si ha una probabilità non nulla che le particelle si trovino oltre la barriera, mentre, per ${\displaystyle E>V_{0}}$ ci possono essere particelle che rimbalzano sulla barriera.

L'equazione di Schrödinger è in generale:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x)}$

poiché il potenziale divide la regione in due zone (vedi figura): la prima per ${\displaystyle x<0}$, la seconda ${\displaystyle x>0}$, il problema va trattato in ognuna delle due zone separatamente e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza del punto di separazione ${\displaystyle x=0}$.

${\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x)&x<0\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V_{0}\,\psi (x)=E\,\psi (x)&x>0\end{cases}}}$

Dobbiamo cercare soluzioni che siano appartenenti a ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} )}$ e imporre inoltre che siano continue con derivata prima continua nel punto di discontinuità ${\displaystyle x=0}$. Bisogna subito chiarire che non esistono soluzioni per ${\displaystyle E<0}$, mentre si possono presentare i due casi: ${\displaystyle E>V_{0}}$ ed ${\displaystyle E<V_{0}}$.

• Consideriamo il caso ${\displaystyle E>V_{0}}$. Riscriviamo le equazioni:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+k^{2}\psi (x)=0&x<0\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&x>0\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}$ e ${\displaystyle q^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}$. Queste equazioni hanno soluzione generale in termini di esponenziale complesso date da:

${\displaystyle {\begin{cases}\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&x<0\\\psi (x)=Ce^{iqx}+De^{-iqx}&x>0\end{cases}}}$

con A, B, C, D coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Nel caso ${\displaystyle x>0}$, si deve porre ${\displaystyle D=0}$ poiché fisicamente non vi può essere onda di ritorno. Queste funzioni d'onda corrispondono al moto di un fascio di particelle incidenti. Ricordiamo che la densità di corrente di probabilità, associata a una funzione d'onda ${\displaystyle \psi }$ è definita come:

${\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{\ast }{\frac {d}{dx}}\psi -\psi {\frac {d}{dx}}\psi ^{\ast }\right){\text{.}}}$

Dunque, indicando con ${\displaystyle J_{i}}$ il flusso di particelle incidenti, che si muovono lungo l'asse x con velocità ${\displaystyle v=\hbar \,k/m}$, l'onda piana incidente, per ${\displaystyle x<0}$, è quella con l'esponenziale positivo:

${\displaystyle J_{i}=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(A^{*}e^{-ikx}{\frac {d}{dx}}Ae^{ikx}-Ae^{ikx}{\frac {d}{dx}}A^{*}e^{-ikx}\right)={\frac {\hbar k}{m}}|A|^{2}.}$

Quindi, si deve porre ${\displaystyle A=1}$, in modo da considerare il flusso unitario di particelle incidenti. Le nostre soluzioni sono:

${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}e^{ikx}+Be^{-ikx}&x<0\\Ce^{iqx}&x>0\end{cases}}}$

Le costanti B e C sono fissati dalla condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in ${\displaystyle x=0}$; La

${\displaystyle 1+B=C}$

è dovuta al raccordo delle funzioni d'onda in ${\displaystyle x=0}$ e la

${\displaystyle k\,(1-B)=q\,C}$

esprime la continuità delle derivate prime della funzione d'onda.

Ricaviamo B e C:

${\displaystyle B={\frac {k-q}{k+q}}}$

${\displaystyle C={\frac {2k}{k+q}}}$

Classicamente il fascio di particelle incidenti attraverserebbe il gradino di potenziale, subendo un'attenuazione della quantità di moto, invece nel caso quantistico si ha una componente riflessa:

${\displaystyle J_{r}=-{\frac {\hbar k}{m}}\vert B\vert ^{2}=-{\frac {\hbar k}{m}}\left({\frac {k-q}{k+q}}\right)^{2}}$

cioè un flusso di particelle riflesse con la stessa velocità, in modulo, del flusso incidente ${\displaystyle v=\hbar \,k/m}$. Ricordando la definizione del coefficiente di riflessione, R, definito come modulo del rapporto tra ${\displaystyle J_{r}}$ e ${\displaystyle J_{i}}$, risulta:

${\displaystyle R=|B|^{2}=\left({\frac {k-q}{k+q}}\right)^{2}}$

Una parte del flusso incidente viene riflesso, ma una parte viene trasmessa oltre il gradino di potenziale:

${\displaystyle J_{t}={\frac {\hbar q}{m}}|C|^{2}={\frac {\hbar q}{m}}\left({\frac {2k}{k+q}}\right)^{2}}$

Ricordando la definizione di coefficiente di trasmissione, T, definito come modulo del rapporto tra ${\displaystyle J_{t}}$ e ${\displaystyle J_{i}}$, otteniamo:

${\displaystyle T={\frac {q}{k}}|C|^{2}={\frac {4kq}{(k+q)^{2}}}}$

dove vale sempre la relazione ${\displaystyle R+T=1}$.

• Consideriamo ora il caso ${\displaystyle E<V_{0}}$, per cui ${\displaystyle q^{2}}$ è un numero

immaginario che riscriviamo nella forma

${\displaystyle q^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}=-\lambda ^{2}<0{\text{.}}}$

La soluzione dell'equazione di Schrödinger nel caso ${\displaystyle x>0}$ diventa:

${\displaystyle \psi (x)=C\,e^{-\lambda x}}$

infatti l'esponenziale positivo non converge all'infinito. Valgono in tal caso tutti i risultati visti sopra con la sostituzione di ${\displaystyle q\,\rightarrow \,i\lambda }$:

${\displaystyle B={\frac {k-i\lambda }{k+i\lambda }}}$

${\displaystyle C={\frac {2k}{k+i\lambda }}}$

In particolare, i coefficienti di riflessione e trasmissione diventano:

${\displaystyle R=\left\vert {\frac {J_{r}}{J_{i}}}\right\vert =\left\vert {\frac {k-i\lambda }{k+i\lambda }}\right\vert ^{2}=1}$

${\displaystyle T=\left\vert {\frac {J_{t}}{J_{i}}}\right\vert =0,}$

essendo ${\displaystyle J_{t}=0}$. Si ha come nel caso classico riflessione totale, come c'era da aspettarsi, poiché l'energia è molto minore del potenziale. Tuttavia, si ha una probabilità non nulla che il fascio di particelle attraversi la barriera: questo effetto è chiamato effetto tunnel (si veda anche il caso della barriera di potenziale).

• Particella libera
• Buca di potenziale
• Oscillatore armonico quantistico
• Barriera di potenziale

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