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La funzione di Sherman è uno strumento matematico valutato per la prima volta per alcune specie atomiche dal fisico Noah Sherman.^[1] Permette il calcolo della polarizzazione di un fascio di elettroni quando vengono eseguiti esperimenti di scattering Mott.^[2] Una corretta valutazione della funzione di Sherman associata a una particolare configurazione sperimentale è di vitale importanza negli esperimenti di spettroscopia di fotoemissione polarizzata con spin, grazie alla quale è possibile ottenere informazioni sul comportamento magnetico di un campione.^[3]

Quando un fascio di elettroni è polarizzato, esiste uno squilibrio tra elettroni con spin up, n_up e con spin down, n_down. Lo squilibrio può essere valutato mediante la polarizzazione P^[4] definita come

${\displaystyle P={\frac {n_{up}-n_{down}}{n_{up}+n_{down}}}}$

A causa dell'accoppiamento di spin-orbita,^[5] quando il fascio elettronico si scontra con un bersaglio pesante, si verifica un'interazione tra il momento magnetico di un elettrone, μ_s, e il campo magnetico generato dai nuclei del bersaglio, B. Questo porta a un potenziale di interazione dovuto all'effetto di spin-orbita, V_SO, che può essere scritto come

${\displaystyle V_{\text{SO}}={\boldsymbol {\mu _{s}}}\cdot \mathbf {B} }$

A causa di questo effetto, gli elettroni saranno dispersi con diverse probabilità ad angoli diversi. Poiché l'accoppiamento di spin-orbita viene enfatizzato quando i nuclei coinvolti possiedono un elevato numero atomico, Z, il bersaglio è solitamente costituito da metalli pesanti, come mercurio,^[1] oro^[6] e torio.^[7]

Se spostiamo due rivelatori con lo stesso angolo rispetto al bersaglio, uno a destra e uno a sinistra, misureranno generalmente un numero diverso di elettroni n_R e n_L. Di conseguenza è possibile definire l'asimmetria, A, come^[2]

${\displaystyle A={\frac {n_{R}-n_{L}}{n_{R}+n_{L}}}}$

Definito come n _tot il numero totale di elettroni nel raggio che hanno subito una dispersione ad angolo θ, è possibile scrivere

${\displaystyle n_{R}+n_{L}=n_{tot}}$

La funzione di Sherman S (θ) è una misura della probabilità che un elettrone con spin up venga disperso, ad un angolo specifico θ, a destra o a sinistra del bersaglio, a causa dell'accoppiamento di spin-orbita.^[8] Può assumere valori da -1 (l'elettrone con spin up è disperso con probabilità del 100% a sinistra del bersaglio) e +1 (l'elettrone di spin up è sparso con probabilità del 100% a destra del bersaglio). Quando S (θ) = 0, gli elettroni di spin up verranno dispersi con la stessa probabilità a destra e a sinistra del bersaglio.^[1]

Quindi è possibile scrivere

${\displaystyle n_{R}={\frac {n_{up}[1+S(\theta )]+n_{down}[1-S(\theta )]}{2}}}$

${\displaystyle n_{L}={\frac {n_{up}[1-S(\theta )]+n_{down}[1+S(\theta )]}{2}}}$

Inserendo queste formule nella definizione di asimmetria, è possibile ottenere una semplice espressione per la valutazione dell'asimmetria ad un angolo specifico θ,^[9]

${\displaystyle A=PS(\theta )}$

Sono disponibili calcoli teorici per diversi bersagli atomici^[1][10] e, per un bersaglio specifico, in funzione dell'angolo.^[8]

Il principio per misurare la polarizzazione di un fascio di elettroni utilizza un rivelatore di Mott.^[11] Per massimizzare l'accoppiamento spin-orbita, è necessario che gli elettroni arrivino vicino ai nuclei del bersaglio. Per questo motivo, di solito è presente un sistema di ottica elettronica, al fine di accelerare il raggio fino a keV^[12] o MeV.^[13] Poiché i rilevatori di elettroni standard li considerano insensibili alla loro rotazione,^[14] dopo lo scattering con il bersaglio si perdono tutte le informazioni sulla polarizzazione originale del raggio. Tuttavia, misurando la differenza nei conteggi dei due rivelatori, è possibile valutare l'asimmetria e, nella funzione Sherman è nota dalla precedente calibrazione, la polarizzazione può essere calcolata invertendo l'ultima formula.^[9]

Per caratterizzare completamente la polarizzazione nel piano, sono disponibili configurazioni, con quattro canali, due dedicati alla misura "sinistra-destra" e due dedicati alla misura "up-down".^[7]

Nel pannello è mostrato un esempio del principio di funzionamento di un rivelatore Mott, supponendo un valore per S (θ) = 0,5. Se un fascio di elettroni con un rapporto 3: 1 di spin su elettroni di spin down si scontrano con il bersaglio, verrà diviso con un rapporto 5: 3, secondo l'equazione precedente, con un'asimmetria del 25%.

• Interazione spin-orbita
• Scattering di Mott
• Spettroscopia di fotoemissione

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