Un filtro QMF (Quadrature Mirror Filter in inglese) consente di suddividere un segnale in due segnali sottocampionati che possono essere poi ricostruiti senza aliasing, anche qualora vengano utilizzati filtri non ideali[1]. Tale filtro fu introdotto da Croisier, Esteban e Galand nel 1976[2] .
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Consideriamo il seguente schema a blocchi:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/QMF.svg/530px-QMF.svg.png)
dove i due filtri e (rispettivamente un filtro passa basso ed un filtro passa alto) suddividono il segnale, mentre e operano la ricostruzione[3].
La condizione necessaria e sufficiente per la cancellazione dell'aliasing è:
Una soluzione a tale problema è data dalla configurazione di filtri in quadratura a specchio (QMF), che si ottiene imponendo i seguenti vincoli sui filtri d'analisi[1]:
Il primo vincolo stabilisce una simmetria tra e , determinando la denominazione di filtri a specchio. Sostituendo i vincoli soprastanti nella precedente condizione si ottiene:
Ciò conferma che l'aliasing è annullato per filtri QMF.
Per poter ottenere una ricostruzione perfetta, la seguente condizione dev'essere soddisfatta:
Visti i vincoli imposti, per i filtri QMF la condizione è:
A questo punto siamo in grado di ricavare tutti e quattro i filtri tramite
Se ci limitiamo a considerare filtri FIR (Finite Impulse Response) la precedente equazione può esser soddisfatta in modo esatto esclusivamente da filtri della forma:
dove e son costanti e e sono interi.
Un esempio di filtri QMF sono i filtri Haar della forma:
In tal caso e
Maggiori informazioni sulla progettazione di filtri QMF sono reperibili in Simoncelli et al.[4].
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ a b Martin Vetterli, Jelena Kovačević, Wavelets and Subband Coding. Prentice Hall PTR, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995. Re-issued by the authors in 2007.
- ^ A. Croisier, D. Esteban e C. Galand, Perfect channel splitting by use of interpolation/decimation/tree decomposition techniques. International Conference on Information Sciences and Systems, pagg. 443–446, Patrasso, Grecia, Agosto 1976.
- ^ F. Rocca, Elaborazione numerica dei segnali Archiviato il 21 ottobre 2012 in Internet Archive.. Politecnico di Milano, 2010.
- ^ Simoncelli et al., Subband Transform - 4.4: Quadrature mirror filter Archiviato il 13 dicembre 2005 in Internet Archive.. Editor: John Woods. Kluwer Academic Press, 1990.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Julius O. Smith III - Spectral Audio Signal Processing - QMF. Data ultimo accesso: 28/04/2012