In teoria delle probabilità, l'evoluzione di Schramm-Loewner con parametro κ, nota anche come evoluzione di Loewner stocastica (SLE_κ), è una famiglia di curve aleatorie del piano per le quali è stato dimostrato essere il limite di scaling di una varietà di modelli bidimensionali su reticolo in meccanica statistica. Dato un parametro κ e un dominio nel piano complesso U, fornisce una famiglia di curve random in U, con κ che controlla di quanto "gira" la curva. Esistono due varianti principali di SLE, SLE cordale che fornisce una famiglia di curve random dati due punti fissi limite e SLE radiale, che fornisce una famiglia di curve random da un punto fisso limite a un punto fisso interno. Queste curve sono definite in modo da soddisfare invarianza conforme e Markovianità del dominio.

Fu scoperta da Oded Schramm nel 2000^[1], ipotizzata come limite di scaling dell'albero ricoprente uniforme planare (UST) e dei processi probabilistici del loop-erased random walk nel piano (LERW), e sviluppato da lui insieme a Greg Lawler e Wendelin Werner in una serie di articoli congiunti.

Oltre a UST e LERW, l'evoluzione di Schramm-Loewner è congetturata o dimostrata essere in grado di descrivere il limite di scaling di vari processi stocastici nel piano, come la percolazione critica, il modello di Ising critico, il modello a doppio dimero, le passeggiate autoevitanti e altri modelli critici di meccanica statistica che mostrano invarianza conforme. Le curve SLE sono i limiti di scaling delle interfacce e di altre curve casuali non auto-intersecanti presenti in questi modelli. L'idea principale è che l'invarianza conforme e una certa proprietà di Markov, inerente a tali processi stocastici, messe insieme rendono possibile esprimere queste curve planari in termini di un moto browniano unidimensionale che corre lungo la frontiera del dominio (la funzione di driving nell'equazione differenziale di Loewner). In questo modo, molti interrogativi importanti sui modelli nel piano possono essere tradotti in esercizi di calcolo alla Itō. In effetti, diverse previsioni matematicamente non rigorose effettuate dai fisici, che utilizzano la teoria dei campi conformi, sono state dimostrate utilizzando questa strategia.

Se D è un dominio complesso aperto, semplicemente connesso, non equivalente a C, e γ è una curva semplice in D che parte dalla frontiera (una funzione continua con γ(0) sulla frontiera di D e γ((0,∞)) un sottoinsieme di D), allora per ogni t ≥ 0, il complemento D_t di γ([0, t]) è semplicemente connesso e quindi conformemente isomorfo a D per il teorema della mappa di Riemann. Se ƒ_t è un adeguato isomorfismo normalizzato da D a D_t, allora soddisferà un'equazione differenziale trovata da Loewner nel 1923 nel suo lavoro sulla congettura di Bieberbach^[2]. A volte è più conveniente usa la funzione inversa g_t di ƒ_t, che è una mappa conforme da D_t a D.

Nell'equazione di Loewner, z è appartenente al dominio D, t ≥ 0 e i valori al contorno al tempo t = 0 sono ƒ₀(z) = z o g₀(z) = z. L'equazione dipende da una funzione di driving ζ(t) che assume valori sulla frontiera di D. Se D è il disco unitario e la curva γ è parametrizzata dalla "capacità", allora l'equazione di Loewner è

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}\qquad }$ o ${\displaystyle \qquad {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$

Se D è il semipiano superiore l'equazione di Loewner differisce da questa per il cambio di variabile ed è

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}\qquad }$ o ${\displaystyle \qquad {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}$

La funzione di dricing ζ e la curva γ sono legate da

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t)\qquad }$ o ${\displaystyle \qquad \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t)),}$

dove ƒ_t e g_t sono estesi per continuità.

Sia D il semipiano superiore e si consideri un SLE₀, quindi la funzione di driving ζ è un moto browniano con diffusività zero. La funzione ζ è quindi identicamente zero quasi sicuramente e

${\displaystyle f_{t}(z)={\sqrt {z^{2}-4t}}}$

${\displaystyle g_{t}(z)={\sqrt {z^{2}+4t}}}$

${\displaystyle \gamma (t)=2i{\sqrt {t}}}$

${\displaystyle D_{t}}$ è il semipiano superiore con il segmento da 0 a ${\displaystyle 2i{\sqrt {t}}}$ rimosso.

L'evoluzione di Schramm-Loewner è la curva casuale γ data dall'equazione di Loewner come nella sezione precedente, per la funzione di driving

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t),}$

dove B(t) è il moto browniano sulla frontiera di D, scalato di qualche κ reale. In altre parole, l'evoluzione di Schramm-Loewner è una misura di probabilità su curve del piano, data come immagine della misura di Wiener sotto questa mappa.

In generale la curva γ non deve essere semplice, e il dominio D_t non è il complemento di γ([0,t]) in D, ma è invece la componente illimitata del complemento.

Esistono due versioni della SLE, che utilizzano due famiglie di curve, ciascuna dipendente da un parametro reale non negativo κ:

• SLE_κ cordale, che è legata alle curve che connettono due punti sulla frontiera di un dominio (di solito il semipiano superiore, con i punti 0 e infinito).
• SLE_κ radiale, che si riferisce alle curve che uniscono un punto sulla frontiera di un dominio a un punto all'interno (spesso curve che uniscono 1 e 0 nel disco unitario).

SLE dipende da una scelta del moto browniano sulla frontiera del dominio, e ci sono diverse variazioni a seconda del tipo di moto browniano utilizzato: ad esempio potrebbe iniziare da un punto fisso, o iniziare da un punto uniformemente distribuito sul cerchio unitario, o potrebbe avere una deriva incorporata e così via. Il parametro κ controlla il tasso di diffusione del moto browniano e il comportamento della SLE dipende in modo critico dal suo valore.

I due domini più comunemente usati nell'evoluzione di Schramm-Loewner sono il semipiano superiore e il disco unitario. Sebbene l'equazione differenziale di Loewner in questi due casi appaia diversa, sono equivalenti per cambiamenti di variabili poiché il disco unitario e il semipiano superiore sono conformemente equivalenti. Tuttavia un'equivalenza conforme tra di loro non preserva i moti browniani sulle loro frontiere usati per guidare l'evoluzione di Schramm-Loewner (ossia non preserva le funzioni di driving).

• Per 0 ≤ κ < 4 la curva γ(t) è semplice (con probabilità 1).
• Per 4 < κ < 8 la curva γ(t) si auto-interseca e ogni punto è contenuto in un loop ma la curva non riempie lo spazio (con probabilità 1).
• Per κ ≥ 8 la curva γ(t) riempie lo spazio (con probabilità 1).
• κ = 2 corrisponde al loop-erased random walk o, equivalentemente, ai rami dell'albero ricoprente uniforme.
• Per κ = 8/3, SLE _κ ha la proprietà di restrizione e si ipotizza che sia il limite di scala delle passeggiate aleatorie autoevitanti. Una versione di esso è la frontiera esterna del moto browniano.
• κ = 3 è il limite delle interfacce per il modello di Ising.
• κ = 4 corrisponde al percorso dell'esploratore armonico e alle curve di livello del campo libero gaussiano.
• Per κ = 6, SLE _κ ha la proprietà di località. Ciò sorge nel limite di scala della percolazione critica sul reticolo triangolare e si congettura anche su altri reticoli.
• κ = 8 corrisponde al percorso che separa l'albero ricoprente uniforme dal suo albero duale.

Quando SLE corrisponde a una qualche teoria di campo conforme, il parametro κ è correlato alla carica centrale c della teoria di campo conforme da

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

Ogni valore di c < 1 corrisponde a due valori di κ, un valore κ compreso tra 0 e 4 e un valore "duale" 16/κ maggiore di 4.

Beffara nel 2008 mostrò che la dimensione di Hausdorff dei cammini (con probabilità 1) è uguale a min(2, 1 + κ/8).

La probabilità per una SLE_κ cordale γ di trovarsi a sinistra di un certo punto ${\displaystyle x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb {H} }$ fissato fu calcolata da Schramm^[3]

${\displaystyle \mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}z_{0}]={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {4}{\kappa }})}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {8-\kappa }{2\kappa }})}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {4}{\kappa }},{\frac {3}{2}},-\left({\frac {x_{0}}{y_{0}}}\right)^{2}\right),}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ è la funzione Gamma e ${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c,d)}$ è la funzione ipergeometrica. Questo è stato derivato utilizzando la proprietà di martingala di

${\displaystyle h(x,y):=\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}x+iy]}$

e il lemma di Itô per ottenere la seguente equazione alle derivate parziali per ${\displaystyle w:={\tfrac {x}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {\kappa }{2}}\partial _{ww}h(w)+{\frac {4w}{w^{2}+1}}\partial _{w}h=0.}$

Per κ = 4, il membro di destra è ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{\pi }}\arg(z_{0})}$, che è stato utilizzato nella costruzione dell'esploratore armonico,^[4] e per κ = 6, otteniamo la formula di Cardy, che è stata utilizzata da Smirnov per dimostrare l'invarianza conforme nella percolazione.^[5]

Lawler, Schramm e Werner usarono SLE₆ per dimostrare la congettura di Mandelbrot (1982) che la frontiera di un moto Browniano nel piano abbia dimensione frattale 4/3.

Stanislav Smirnov dimostrò che la percolazione critica sul reticolo triangolare è correlata al SLE₆.^[6] In combinazione con il lavoro precedente di Harry Kesten,^[7] questo ha portato alla determinazione di molti degli esponenti critici della percolazione.^[8] Questa svolta, a sua volta, ha consentito un'ulteriore analisi di molti aspetti di questo modello.^[9][10]

Lawler, Schramm e Werner hanno dimostrato che il loop-erased random walk converge alla SLE₂.^[11] Ciò ha consentito la derivazione di molte proprietà quantitative del loop-erased random walk (alcune delle quali derivate in precedenza da Richard Kenyon).^[12] È stato dimostrato che la curva di Peano casuale correlata che delinea l'albero ricoprente uniforme converge a SLE₈.

Rohde e Schramm mostrarono che κ è correlato alla dimensione frattale di una curva dalla seguente relazione

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$

Nel 2006, sfruttando la SLE, furono trovati indizi di invarianza conforme in simulazioni numeriche di turbolenza bidimensionale.^[13]

• Vincent Beffara, The dimension of the SLE curves, in The Annals of Probability, vol. 36, n. 4, 2008, pp. 1421–1452, DOI:10.1214/07-AOP364, arXiv:math/0211322.
• John Cardy, SLE for theoretical physicists, in Annals of Physics, vol. 318, n. 1, 2005, pp. 81–118, Bibcode:2005AnPhy.318...81C, DOI:10.1016/j.aop.2005.04.001, arXiv:cond-mat/0503313.
• Wouter Kager e Bernard Nienhuis, A Guide to Stochastic Loewner Evolution and its Applications, in J. Stat. Phys., vol. 115, n. 5/6, 2004, pp. 1149–1229, Bibcode:2004JSP...115.1149K, DOI:10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be, arXiv:math-ph/0312056.
• Gregory F. Lawler, An introduction to the stochastic Loewner evolution, in Vadim A. Kaimanovich (a cura di), Random walks and geometry, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004, pp. 261–293, ISBN 978-3-11-017237-9 (archiviato dall'url originale il 18 settembre 2009).
• Gregory F. Lawler, Conformally invariant processes in the plane, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 114, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2005, ISBN 978-0-8218-3677-4.
• Gregory F. Lawler, Stochastic Loewner Evolution (ps).
• Gregory F. Lawler, Conformal invariance and 2D statistical physics, in Bull. Amer. Math. Soc., vol. 46, 2009, pp. 35–54, DOI:10.1090/S0273-0979-08-01229-9.
• Gregory F. Lawler, Oded Schramm e Wendelin Werner, The dimension of the planar Brownian frontier is 4/3, in Mathematical Research Letters, vol. 8, n. 4, 2001, pp. 401–411, DOI:10.4310/mrl.2001.v8.n4.a1, arXiv:math/0010165. URL consultato il 7 gennaio 2021 (archiviato dall'url originale l'8 settembre 2019).
• C. Loewner, Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I (PDF), in Math. Ann., vol. 89, 1–2, 1923, pp. 103–121, DOI:10.1007/BF01448091, JFM 49.0714.01.
• Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, 1982, ISBN 978-0-7167-1186-5.
• J. R. Norris, Introduction to Schramm–Loewner evolutions (PDF), 2010.
• Christian Pommerenke, Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht, 1975. (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
• Oded Schramm, Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees, in Israel Journal of Mathematics, vol. 118, 2000, pp. 221–288, DOI:10.1007/BF02803524, arXiv:math.PR/9904022. Schramm's original paper, introducing SLE
• Oded Schramm, Conformally invariant scaling limits: an overview and a collection of problems, in International Congress of Mathematicians. Vol. I, Eur. Math. Soc., Zürich, 2007, pp. 513–543, Bibcode:2006math......2151S, DOI:10.4171/022-1/20, ISBN 978-3-03719-022-7, arXiv:math/0602151.
• Wendelin Werner, Random planar curves and Schramm–Loewner evolutions, in Lectures on probability theory and statistics, Lecture Notes in Math., vol. 1840, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2004, pp. 107–195, DOI:10.1007/b96719, ISBN 978-3-540-21316-1, arXiv:math.PR/0303354.
• Wendelin Werner, Conformal restriction and related questions, in Probability Surveys, vol. 2, 2005, pp. 145–190, DOI:10.1214/154957805100000113.

• Lawler, Schramm e Werner, Tutorial: SLE, Lawrence Hall of Science, University of California, Berkeley, 2001. (video di lezioni MSRI)
• Oded Schramm, Conformally Invariant Scaling Limits and SLE, 2001. (Slides from a talk.)

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