In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono SD-equivalenti quando esistono due matrici invertibili ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ tali che:

${\displaystyle A=MBN}$

La sigla SD sta per equivalenza sinistra-destra.

La SD-equivalenza è una relazione di equivalenza, e induce quindi una partizione dell'insieme ${\displaystyle M(m,n,K)}$ di tutte le matrici ${\displaystyle m\times n}$ a valori in un campo ${\displaystyle K}$. Si tratta di una relazione di equivalenza più semplice della più usata similitudine: due matrici risultano essere SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

Siano ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ due matrici ${\displaystyle m\times n}$, Queste sono SD-equivalenti se esistono due matrici invertibili ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ (la prima ${\displaystyle m\times m}$, la seconda ${\displaystyle n\times n}$) tali che:

${\displaystyle A=MBN}$

Il rango è un invariante completo per la SD-equivalenza: questo vuol dire che due matrici ${\displaystyle m\times n}$ sono SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

In particolare, ogni matrice ${\displaystyle A}$ è SD-equivalente ad una matrice del tipo:

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}I_{r}&0_{r,n-r}\\0_{m-r,r}&0_{m-r,n-r}\end{pmatrix}}}$

dove ${\displaystyle r}$ è il rango di ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle I_{r}}$ è la matrice identità ${\displaystyle r\times r}$ e ${\displaystyle 0_{k,h}}$ è la matrice nulla ${\displaystyle k\times h}$.

Due matrici simili sono anche SD-equivalenti. L'opposto non è però vero in generale. Ad esempio, le matrici costanti di un dato ordine multiple dell'identità sono tutte SD-equivalenti, mentre ciascuna di esse da sola costituisce una classe di similitudine; ancora due matrici con lo stesso rango ma con diverso determinante (oppure con autovalori differenti) sono SD-equivalenti ma non simili; evidenti coppie di queste matrici hanno la forma ${\displaystyle (M,cM)}$ con c ${\displaystyle \neq 1}$.

• Marco Abate, Geometria, McGraw-Hill, 1996.

• Congruenza tra matrici
• Rango (algebra lineare)
• Similitudine tra matrici

• (EN) Eric W. Weisstein, Equivalenza sinistra-destra tra matrici, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Teknopedia che trattano di matematica