In fisica, l’entropia di Tsallis è una generalizzazione della formula di Boltzmann-Gibbs per il calcolo dell'entropia.

Il fisico teorico Costantino Tsallis elaborò nel 1988^[1] questo concetto come base per generalizzare la meccanica statistica standard, ed è identica dal punto di vista formale alla α-entropia strutturale di Havrda–Charvát^[2][3], introdotta nel 1967 nell'ambito della Teoria dell'Informazione. L'importanza dell'entropia di Tsallis in fisica è stata largamente dibattuta dalla letteratura scientifica.^[4][5][6].

Tuttavia, a partire dal 2000, è stato identificato un sempre più ampio spettro di sistemi complessi naturali, artificiali e sociali che confermano i fatti sperimentali previsti e le conseguenze teoriche dedotte da questo tipo di entropia non-additiva, come la meccanica statistica non-estensiva, che riesce a generalizzare la teoria di Boltzmann-Gibbs.

Dato un insieme discreto di probabilità ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ dove vale che ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$, e dato un numero reale qualsiasi ${\displaystyle q}$, si definisce entropia di Tsallis:

${\displaystyle S_{q}({p_{i}})={k \over q-1}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),}$

dove ${\displaystyle q}$ è un numero reale chiamato indice entropico.

Con il limite per ${\displaystyle q\to 1}$, ritroviamo la più nota entropia di Boltzmann–Gibbs, vale a dire:

${\displaystyle S_{BG}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}.}$

Invece, per le distribuzioni di probabilità continue, l'entropia di Tsallis è definita come:

${\displaystyle S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),}$

dover ${\displaystyle p(x)}$ è la Funzione di densità di probabilità.
L'entropia di Tsallis è stata usata per derivare le proprietà della distribuzione di probabilità di Tsallis, attraverso il Principio della Massima Entropia.

L'entropia discreta di Tsallis soddisfa

${\displaystyle S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}}$

dove D_q è la q-derivata rispetto a x. Può essere confronata con la formula dell'entropia standard:

${\displaystyle S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}}$

Dati due sistemi A and B, per i quali la funzione di densità di probabilità congiunta soddisfa

${\displaystyle p(A,B)=p(A)p(B),\,}$,

allora, l'entropia di Tsallis per questo sistema soddisfa

${\displaystyle S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,}$

dove è evidente che il parametro ${\displaystyle |1-q|}$ è una misura di quanto non è additiva.
Nel caso limite di q = 1, diventa

${\displaystyle S(A,B)=S(A)+S(B),\,}$

che è quanto ci si attende per un sistema additivo.
Per questo motivo, tale proprietà è a volte chiamata pseudo-additività.

Molte comuni distribuzioni di probabilità, ad esempio la distribuzione normale, conducono alle famiglie di esponenziali. L'entropia di Tsallis per una famiglia esponenziale può essere scritta ^[7] come:

${\displaystyle H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)}$

dove F è un log-normalizzatore e k il termine che indica la misura del carrier.

Per la Distribuzione normale multivariata, k è uguale zero, e perciò l'entropia di Tsallis diventa una espressione matematica in forma chiusa (valutabile in un numero finito di operazioni).

Esiste un certo numero di sistemi fisici di rilievo^[8] che afferiscono ai funzionali, che riescono a generalizzare ulteriormente l'entropia di Tsallis. I due più importanti sono: la Superstatistica introdotta da C. Beck ed E. G. D. Cohen nel 2003^[9] e la Statistica Spettrale, introdotta da G. A. Tsekouras e Constantino Tsallis nel 2005.^[10]
L'entropia di Tsallis e l'entropia di Boltzmann-Gibbs possono essere ottenute come casi particolari, da entrambe queste due entropie. È stato dimostrato, inoltre, che dalla Statistica Spettrale si può ricavare la formula della Superstatica, cosa che lascia ipotizzare che la prima possa contenere e spiegare ulteriori casi e fenomeni.

• Shigeru Furuichi, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis, Eleutherius Symeonidis, On some properties of Tsallis hypoentropies and hypodivergences, in Entropy, 16(10) (2014), 5377-5399; DOI: 10.3390/e16105377
• Shigeru Furuichi, Flavia-Corina Mitroi, Mathematical inequalities for some divergences, in Physica A 391 (2012), pp. 388–400, DOI: 10.1016/j.physa.2011.07.052; ISSN 0378-4371 (WC · ACNP)
• Shigeru Furuichi, Nicușor Minculete, Flavia-Corina Mitroi, Some inequalities on generalized entropies, J. Inequal. Appl., 2012, 2012:226. DOI: 10.1186/1029-242X-2012-226

• Dettagli sui risultati teorici e sperimentali
• Tsallis Statistics, Statistical Mechanics for Non-extensive Systems and Long-Range Interactions
• Tomasz Maszczyk, Wlodzislaw Duch, Comparison of Shannon, Renyi and Tsallis Entropy used in Decision Trees, in Lecture Note in Computer Science, Vol. 5097 pagg. 643-651, anno 2008, Department of Informatics, Nicolaus Copernicus University, University Grudzi¸adzka 5, 87-100 Toru´n, Poland [1].

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