L'energia totale relativistica ${\displaystyle E}$, nella teoria della relatività ristretta, è data dall'Energia a riposo ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ a cui va aggiunta l'Energia cinetica relativistica ${\displaystyle K=(\gamma -1)\,mc^{2}}$ :

${\displaystyle E=E_{0}+K=mc^{2}+(\gamma -1)\,mc^{2}=\gamma \,m\,c^{2}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

dove:

• ${\displaystyle m}$ è la massa invariante della particella
• ${\displaystyle c}$ è la velocità della luce
• ${\displaystyle \gamma }$ è il fattore di Lorentz
• ${\displaystyle p=\gamma \,mv}$ è la quantità di moto relativistica

Si è qui usata la notazione moderna,^[1][2] che denota con m la massa invariante a ogni velocità v < c (numericamente coincidente con la massa a riposo ${\displaystyle m_{0}}$) e conseguentemente si scrive:

${\displaystyle E=\gamma \,mc^{2}}$

per l'energia relativistica totale e

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

per l'energia a riposo.

L'energia cinetica relativistica ${\displaystyle K}$ è data dalla differenza tra l'energia totale ${\displaystyle E=\gamma \,mc^{2}}$ e l'energia a riposo ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$:

${\displaystyle K=E-E_{0}=\gamma \,mc^{2}-mc^{2}=\left(\gamma -1\right)\,mc^{2}}$

che per piccole velocità (v ≪ c) è approssimabile all'espressione classica dell'energia cinetica,

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,mv^{2}}$.

Si può mostrare che le due forme concordano espandendo ${\displaystyle \gamma }$ in serie di Taylor:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\simeq 1\,+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}$.

Inserendolo nell'equazione originaria, si ottiene un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica:

${\displaystyle K\simeq {\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}mc^{2}\simeq {\frac {1}{2}}\,mv^{2}}$.

L'energia totale relativistica comprende anche l'energia a riposo del corpo (che dipende solo dalla massa a riposo), che non compare invece nella definizione classica dell'energia. L'espressione dell'energia cinetica relativistica è invece equivalente a quella classica per basse velocità v rispetto a c. Questo mostra come la relatività sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica, che rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.

• Energia a riposo
• Teoria della relatività ristretta
• E = mc²
• Energia totale
• Cinematica relativistica

• Energia relativistica, su openfisica.com. URL consultato il 9 luglio 2019 (archiviato dall'url originale il 22 settembre 2009).

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