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Nella teoria della probabilità, la disuguaglianza di Bernstein è una delle disuguaglianze riguardanti la somma di variabili casuali. Venne formulata da Sergei Natanovich Bernstein, di cui porta il nome.

Siano ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ delle variabili casuali indipendenti limitate, allora vale la disuguglianza:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu \right|\geq \lambda \right)\leq 2e^{-{\frac {\lambda ^{2}}{2\sigma ^{2}+{\frac {2}{3}}m\lambda }}}}$;

dove:

• ${\displaystyle \sigma ^{2}=Var(\sum X_{i})=\sum Var(X_{i})=\sum \sigma _{i}^{2}}$ è la varianza della somma delle variabili,
• ${\displaystyle \mu =\sum \mathbb {E} [X_{i}]}$ è il valore atteso della somma delle variabili,
• ${\displaystyle m}$ è una costante tale che ${\displaystyle \mathbb {P} (|X_{i}-\mu _{i}|>m)=0}$, ovvero ${\displaystyle m}$ è lo scarto massimo rispetto alla media, presente tra le ${\displaystyle n}$ variabili casuali ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ (tale ${\displaystyle m}$ esiste, in quanto si è assunto che le ${\displaystyle X_{i}}$ fossero limitate).

Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quadratica, si può stimare la stessa quantità:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu \right|\geq \lambda \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}}};}$

la stima di Bernstein è evidentemente più accurata: garantisce infatti un decadimento esponenziale (per grandi ${\displaystyle \lambda }$) della probabilità che la somma delle variabili aleatorie si discosti dalla media (mentre la disuguaglianza di Chebyshev garantisce solo un decadimento quadratico). Tuttavia, la disuguaglianza di Bernstein è valida sotto l'ipotesi che le variabili considerate siano limitate (ipotesi non necessaria per Chebyshev).

• Sergei Natanovic Bernstein
• Disuguaglianza di Chebyshev
• Disuguaglianza di Hoeffding

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