Riguardo la dimostrazione sulla completezza di ${\displaystyle l^{2}}$ forse sarebbe meglio renderla più chiara e motivare maggiormente i passaggi. Per esempio ${\displaystyle x_{k}^{n}}$ che vuol dire? Forse sarebbe stato meglio scrivere in questo modo:

Sia ${\displaystyle \mathbf {x} ^{n}=(x_{k}^{n})_{k\in \mathbf {N} }\in l^{2},{\mbox{ per }}n=1,2,...}$. Supponiamo che ${\displaystyle (\mathbf {x} ^{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ sia una successione di Cauchy. Ovvero ${\displaystyle \forall \epsilon >0\exists N(\epsilon )\in \mathbf {N} :||\mathbf {x} ^{n}-\mathbf {x} ^{m}||_{l^{2}}<\epsilon }$, cioè ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}^{n}-x_{k}^{m}|^{2}<\epsilon ^{2}}$.

e via dicendo... capito? forse in questo modo risulta un po' più chiara la dimostrazione.

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