introduzione al metodo degli elementi finiti

Nell'articolo sono presenti esempi relativi al calcolo agli elementi finiti applicato al calcolo strutturale, disciplina su cui è nato. Oggi si trovano le applicazioni più svariate ma i termini utilizzati sono quelli specifici del calcolo strutturale il cui significato è stato esteso (ad esempio le forze esterne possono essere qualsiasi tipo di perturbazione esterna come un flusso termico)

Il metodo degli elementi finiti è una procedura che permette di approssimare i valori di una funzione qualsiasi in determinati punti. Determinando il valore della funzione in una serie di punti (che dipenderanno dalla precisione della nostra mesh) si può determinare il comportamento della variabile lungo tutto il dominio studiato tramite interpolazione lineare (in caso monodimensionale) o interpolazione quadrica o cubica per problemi di ordine maggiore. Da notare che la funzione viene approssimata, e non necessariamente saranno i valori esatti della funzione quelli calcolati nei punti, ma i valori che forniranno il minor errore su tutta la soluzione. Il metodo degli elementi ha riscosso successo particolarmente per applicazioni a sistemi fisici, statici o dinamici. È particolarmente utilizzato quindi in ingegneria strutturale ed in ingegneria meccanica.

In generale i problemi di tipo ingegneristico sono risolti adottando modelli matematici costituiti da problemi di Cauchy dove si trovano a sistema le equazioni, in genere differenziali che descrivono il fenomeno ed eventuali condizioni al contorno. Questi modelli che si adattano bene ai casi con geometrie semplici, sono in genere complessi e richiedono particolari ipotesi semplificative. In alternativa alle soluzioni analitiche, il calcolo agli elementi finiti fornisce una soluzione esatta solo per alcuni punti detti nodi. Per calcolare una soluzione numerica l’oggetto dell’analisi deve essere suddiviso in un numero finito elementi semplici senza sovrapposizioni tra loro, i quali devono adattarsi bene ai modelli matematici da utilizzare. Ogni elemento individua precisi nodi su cui eseguire i calcoli: nel caso in analisi si tratti di risolvere equazioni di equilibrio di forze, per ogni nodo di ogni elemento. La semplificazione dal punto di vista concettuale dell’oggetto d’analisi è pagata con aumento dell’onerosità computazionale.

Per arrivare al modello agli elementi finali si seguono tre fasi fondamentali, ognuna delle quali comporta l’inserimento di errori nella soluzione finale:

1. Idealizzazione: Questa fase è presente in tutti gli studi di ingegneria: si passa dal sistema fisico ad un modello matematico, che astrae alcuni aspetti di interesse del sistema fisico, focalizzando l’attenzione su poche variabili aggregate di interesse e "filtrando" le rimanti. Ad esempio nel calcolo del momento flettente di una trave non si prendono in considerazione le interazioni a livello molecolare. Il sistema fisico se complesso viene suddiviso in sottosistemi. Nel caso in esame non è necessario, oppure possiamo pensare che si tratti di una parte appartenente ad un sistema più complesso, ad esempio di una nave o di un aeroplano. Il sottosistema verrà poi suddiviso in elementi finiti ai quali verrà applicato un modello matematico. A differenza delle trattazioni analitiche è sufficiente che il modello matematico scelto sia adeguato alle geometrie semplici degli elementi finiti. La scelta di un tipo di elemento in un programma software equivale ad una scelta implicita del modello matematico che vi è alla base. L'errore che può portare l’utilizzo di un modello deve essere valutato con prove sperimentali, operazione in genere dispendiosa per tempo e risorse.
2. Discretizzazione: In una simulazione per via numerica è necessario passare da un numero infinito di gradi di libertà ad un numero finito. La discretizzazione, nello spazio o nel tempo, ha lo scopo di ottenere un modello discreto caratterizzato da un numero finito di gradi di libertà. Viene inserito un'errore dato dalla discordanza con la soluzione esatta del modello matematico, Questo errore può essere valutato opportunamente se esiste un modello matematico adeguato all’intera struttura (quindi preferibile da utilizzare rispetto all’analisi fem) ed in assenza di errori numerici di calcolo, ciò può essere considerato vero utilizzando calcolatori elettronici.

Esempio di geometrie di elementi finiti e nodi in 2 e 3 dimensioni

ogni elemento è caratterizzato da:

• Dimensione: 1D,2D,3D
• Nodi: Punti precisi dell’elemento che ne individuano la geometria. Su ogni nodo dell’elemento viene associato il valore di un campo o gradiente che interessa l’intera struttura. Nel caso di elementi meccanici il campo è quello delle reazioni vincolari displacements
• Gradi di libertà: i possibili valori che possono assumere i campi o gradienti nei nodi, due nodi adiacenti hanno gli stessi valori
• Forze sui nodi: forze esterne applicate sui nodi o l'effetto delle reazioni vincolari. Esiste una relazioni di dualità tra forze e reazioni vincolari

Detto f il vettore di forze esterne su un nodo ed u il vettore di DOF si assume linearità tra f e u Ku=f dove K prende il nome di stiffnes matrix (matrice di rigidezza). Questa relazione individua la dualità tra forze esterne e spostamenti . Il prodotto scalare uf è associato al valore del lavoro compiuto dalle forze esterne. I termine forza e reazione vincolare e stiffness matrix sono estesi oltre l’ambito delle strutture meccaniche in cui è nata l’analisi FEM.

• Proprietà costitutive: le proprietà dell'elemento e del suo comportamento. In seguito verrà definito un materiale isotropo con comportamento lineare elastico, definito un modulo di Young ed un coefficiente di Poisson
• Soluzione di un sistema di equazioni, anche non lineari risolte per via numerica dall'elaboratore. Viene introdotto un errore numerico trascurabile nel caso di sistemi lineari come quello in analisi.