Esempi spostati dalla voce.--Dr Zimbu (msg) 09:39, 30 nov 2009 (CET)[rispondi]

Esempio (2-a)

Se ${\displaystyle f(x,y)=x+y\,\!}$

applicando la trasformazione si ottiene

${\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi )}$.

Esempio (2-b)

Se ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!}$

Si ottiene in questo caso

${\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos \phi ^{2}+\sin \phi ^{2})=\rho ^{2}\,\!}$

sfruttando la prima relazione fondamentale della trigonometria (molto utile per la semplificazione di questi calcoli).

La trasformazione del dominio avviene esplicitando la lunghezza dei raggi della corona e l'ampiezza dell'angolo descritto per definire gli intervalli ρ, φ a partire da quelli x, y.

Esempio (2-c)

Sia ${\displaystyle D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!}$, ovvero una circonferenza di raggio 2; è evidente che l'angolo descritto è l'angolo giro, quindi φ varierà da 0 a 2π, mentre il raggio della corona va da 0 a 2 (la corona con raggio interno nullo è proprio un cerchio) e ρ varierà da 0 a 2.

Esempio (2-d)

Sia ${\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}}$ ovvero la corona circolare nel semipiano delle y positive (si veda la figura in esempio); si nota che φ descrive un angolo piatto mentre ρ varia da 2 a 3. Di conseguenza il dominio trasformato sarà il seguente rettangolo: ${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}}$.

Esempio (2-e)

Sia ${\displaystyle f(x,y)=x\,\!}$ e il dominio lo stesso dell'esempio 2-d.

Dall'analisi di D precedentemente effettuata sono già noti gli intervalli di ρ (da 2 a 3) e φ (da 0 a π). Si muti ora la funzione:

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi }$;

infine si applichi la formula per l'integrazione:

${\displaystyle \iint _{D}x\ dxdy=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \ d\rho d\phi }$.

Una volta noti gli intervalli si ha

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ d\phi \ d\rho =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \ [{\frac {\rho ^{3}}{3}}]_{2}^{3}=[\sin \phi ]_{0}^{\pi }\ (9-{\frac {8}{3}})=0}$ .

Esempio (2-f)

È possibile grazie alle coordinate polari andare a calcolare l'area di una circonferenza di raggio generico R.

Sia ${\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq R\}.}$ Presa ${\displaystyle f(x,y)=1}$, si calcola il seguente integrale:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ dxdy=\iint _{D}1\ dxdy.}$

Passando dalle coordinate cartesiane a quelle polari si giunge al seguente integrale doppio:

${\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\rho \ d\rho \ d\phi =\int _{0}^{R}\rho \ d\rho \int _{0}^{2\pi }d\phi }$

L'ultimo passaggio è possibile in quanto la funzione ${\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho }$ è indipendente da ${\displaystyle \phi }$. Quindi si ottiene:

${\displaystyle \int _{0}^{R}\rho \ d\rho \int _{0}^{2\pi }\ d\phi ={\frac {\rho ^{2}}{2}}]_{0}^{R}\phi ]_{0}^{2\pi }={\frac {R^{2}}{2}}2\pi =\pi R^{2}}$

che è la formula nota per il calcolo dell'area del cerchio di raggio generico R.

Esempio (4-a)

Sia ${\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16}$ (sfera di raggio 4 e centro nell'origine); tramite la trasformazione si ottiene la regione ${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}}$.

Esempio (4-b)

Sia D la stessa regione dell'esempio 4-a ed ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!}$

La trasformazione della funzione è molto semplice:

${\displaystyle f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )=\rho ^{2}\,\!}$

mentre del dominio già conosciamo gli intervalli della regione trasformata in T:

${\displaystyle (0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi )}$.

Si applica quindi la formula d'integrazione:

${\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\ dxdydz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \ d\rho d\theta d\phi }$;

sviluppando si ha

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \ d\rho d\theta d\phi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta [{\frac {\rho ^{5}}{5}}]_{0}^{4}\ d\theta =}$

${\displaystyle =2\pi \ [{\frac {\rho ^{5}}{5}}]_{0}^{4}\ [-\cos \theta ]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}}$.

Esempio (4-c)

Sia D la palla di centro 0 e raggio 3a (${\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!}$) ed ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!}$.

Analizzando il dominio potrebbe sembrare conveniente adottare il passaggio in coordinate sferiche, infatti gli intervalli delle variabili che delimitano la nuova regione T sono immediati:

${\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi }$.

Tuttavia trasformando la funzione si ottiene

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }$.

Applicando la formula per l'integrazione si otterrebbe

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \ d\rho d\theta d\phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \ d\rho d\theta d\phi }$

molto complicato da svolgere. Il problema si risolve utilizzando il passaggio in coordinate cilindriche. I nuovi intervalli di T diventano

${\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}$;

l'intervallo delle z è stato ottenuto dividendo la palla in due semisfere semplicemente risolvendo la disequazione della definizione di D (e trasformando direttamente x² + y² in ρ²). La nuova funzione è semplicemente ρ². Applicando quindi la formula di integrazione si ha

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\phi dz}$.

Sviluppando si ottiene

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}dz=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\ d\rho }$.

Si applica ora la trasformazione

${\displaystyle 9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow dt=-2\rho d\rho \longrightarrow d\rho ={\frac {dt}{-2\rho }}\,\!}$

(gli intervalli diventano ${\displaystyle 0,3a\longrightarrow 9a^{2},0}$). Si ha

${\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}dt}$;

dato che ${\displaystyle \rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!}$, si ricava

${\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}dt}$;

invertendo gli estremi d'integrazione e moltiplicando i termini tra parentesi l'integrale si può scomporre in due parti direttamente risolvibili: ${\displaystyle 2\pi \left[\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\ dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\ dt\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}=}$

${\displaystyle =2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {2}{5}}\right)=54\pi {\frac {28}{5}}a^{5}={\frac {1512\pi }{5}}a^{5}}$.

Applicando il passaggio in coordinate cilindriche si è riusciti a ricondurre l'integrale triplo ad un integrale ad una variabile più facilmente risolvibile grazie a calcoli molto meno complessi.

Esempio (3-a)

Sia ${\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}}$ (ovvero il "tubo" avente come corona circolare di base la regione nell'esempio 2-d e come altezza 5); applicando la trasformazione si ottiene la regione ${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}$ (ovvero il parallelepipedo con base il rettangolo nell'esempio 2-d e altezza 5).

Poiché la componente z rimane invariata nella trasformazione, i differenziali dx dy dz variano come nel passaggio in coordinate polari, ovvero diventano ρ dρ dφ dz.

Si può quindi applicare la formula finale per il passaggio in coordinate cilindriche:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\ dxdydz=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \ d\rho d\phi dz}$

È consigliabile utilizzare questo metodo nel caso di domini cilindrici, conici, o comunque regioni per le quali è comodo sia delimitare l'intervallo delle z che trasformare la base circolare e la funzione.

Esempio (3-b)

Sia ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!}$ con dominio d'integrazione il cilindro ${\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}}$.

La trasformazione di D in coordinate cilindriche è la seguente:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}}$

mentre la funzione diventa

${\displaystyle f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z\,\!}$

Si applica infine la formula di integrazione:

${\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\ dxdydz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\ \rho \ d\rho d\phi dz}$;

esplicitando la formula si ha

${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\ \left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\ dz=}$

${\displaystyle =2\pi \int _{-5}^{5}\ \left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)dz=...=2\pi \left({\frac {405}{2}}+225\right)}$.