In matematica, la costante Landau-Ramanujan K è una costante che si presenta nella teoria dei numeri. K rappresenta la costante di proporzionalità tra il numero di interi positivi minori di x che sono la somma di due quadrati perfetti e

${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {\ln(x)}}}}$

per x che tende a infinito; in altre parole, se N(x) è il numero di interi positivi minori di x somma di due quadrati perfetti, allora

${\displaystyle K=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}=0,76422365358922066299069873125...}$

Prende il nome di Edmund Landau che ne dimostrò l'enunciato nel 1908, mentre prende il nome di Srinivasa Ramanujan perché fu quello che la enunciò nel 1906, non riuscendo però a dimostrarla. La convergenza del limite alla costante K è tuttavia molto lenta:

x	${\displaystyle N(x)}$	${\displaystyle N(x){\frac {\sqrt {\ln(x)}}{x}}}$
10	7	1,0622
102	43	0,922765
103	330	0,867326
104	2749	0,834281
105	24028	0,815287
106	216341	0,804123

Una formula, trovata da Flajolet e Vardi nel 1996, che converge più velocemente a K è

${\displaystyle K={\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1-{\frac {1}{2^{2^{n}}}}\right){\frac {\zeta (2^{n})}{\beta (2^{n})}}\right]^{\frac {1}{2^{n+1}}}}$

dove ${\displaystyle \zeta (n)}$ è la funzione zeta di Riemann e ${\displaystyle \beta (n)}$ è la funzione beta di Dirichlet.

Una formula esatta per K è

${\displaystyle K={\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod \left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

dove la produttoria è presa tra tutti i numeri primi p congrui a 3 modulo 4.

• (EN) Eric W. Weisstein, Landau-Ramanujan Constant, su MathWorld, Wolfram Research.

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