La costante di Erdős-Borwein E è la somma dei reciproci dei numeri di Mersenne. Prende il nome da Paul Erdős e da Peter Borwein.

Per definizione è:

${\displaystyle E_{B}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1{,}606695152415291763...}$

Si dimostra che le forme seguenti sono equivalenti alla precedente:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$

${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$

dove ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$ è la funzione divisore di parametro 0, che ha lo scopo di contare il numero di divisori del numero ${\displaystyle n}$. Per provare l'equivalenza di queste somme si sfrutta il fatto che hanno tutte la forma di una serie di Lambert.

Erdős nel 1948 ha dimostrato che la costante E è un numero irrazionale.

• (EN) Eric W. Weisstein, Erdős-Borwein Constant, su MathWorld, Wolfram Research.

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