In geometria differenziale, la connessione di Levi-Civita è, su una varietà riemanniana, l'unica connessione senza torsione che preserva la metrica. Il suo nome è dovuto a Tullio Levi-Civita^[1].

Grazie alla connessione di Levi-Civita, il tensore metrico della varietà riemanniana risulta essere quindi ingrediente sufficiente per definire univocamente concetti più elaborati come derivata covariante, geodetica, trasporto parallelo.

Sia ${\displaystyle (M;g)}$ una varietà riemanniana. Una connessione ${\displaystyle \nabla }$ è di Levi-Civita se valgono le proprietà seguenti^[2]:

• non ha torsione, ossia, si ha: ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$
• preserva la metrica, cioè:

${\displaystyle \nabla _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)\,.}$

Ovvero, equivalentemente

${\displaystyle \nabla _{X}g=0\,.}$

Entrambe le proprietà possono essere espresse usando la notazione con indici. Una connessione è di Levi-Civita se in ogni carta valgono le proprietà seguenti:

• i simboli di Christoffel sono simmetrici negli indici in basso, cioè:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$

• la derivata covariante del tensore metrico è nulla, cioè:

${\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}=0\,.}$

Il seguente fatto è un risultato fondamentale della geometria riemanniana.

Una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana ha un'unica connessione di Levi-Civita.

La dimostrazione di questo fatto può essere svolta nel modo seguente. I simboli di Christoffel definiscono il termine da aggiungere in una carta alla usuale derivata parziale per ottenere la derivata covariante. Per ogni connessione e in ogni carta vale quindi la relazione

${\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}=\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kj}^{h}g_{hi}-\Gamma _{ik}^{h}g_{jh}.}$

Supponiamo che la connessione sia di Levi-Civita. Questa quantità è quindi zero, perché si richiede che la derivata covariante della metrica sia nulla. Permutando i tre indici ${\displaystyle i,j,k}$ in modo ciclico si ottengono tre uguaglianze. Sottraendo le ultime due uguaglianze dalla prima, e usando la simmetria dei simboli di Christoffel (la torsione è nulla) si ottiene:

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}-\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2\Gamma _{jk}^{h}g_{hi}=0.}$

Il simbolo di Christoffel può essere esplicitato moltiplicando questa relazione per ${\displaystyle g^{li}}$. Il risultato è

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\frac {1}{2}}g^{li}(\partial _{j}g_{ki}+\partial _{k}g_{ij}-\partial _{i}g_{jk}).}$

Questo dimostra l'unicità della connessione. D'altra parte, questa uguaglianza può essere usata per definire una connessione di Levi-Civita: è sufficiente verificare che una tale definizione fornisca effettivamente una connessione, e cioè che i simboli ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$ così definiti cambino al mutare delle coordinate come i simboli di Christoffel.

Una connessione di Levi-Civita ha delle buone proprietà rispetto all'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici, effettuata tramite contrazione con il tensore metrico o il suo inverso. Innanzitutto, anche il tensore metrico inverso ha derivata covariante nulla:

${\displaystyle \nabla _{k}g^{ij}=0.}$

Perciò la derivata covariante commuta con l'innalzamento o abbassamento degli indici. Ad esempio, se ${\displaystyle V^{i}}$ è un campo vettoriale:

${\displaystyle \nabla _{k}(g_{ij}V^{j})=(\nabla _{k}g_{ij})V^{j}+g_{ij}(\nabla _{k}V^{j})=g_{ij}(\nabla _{k}V^{j}).}$

• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.

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