In matematica, la congettura di Marshall Hall è un problema aperto di teoria dei numeri sulla differenza tra quadrati perfetti e cubi perfetti. Essa afferma che se e non sono uguali, allora la loro distanza deve essere superiore a una costante dipendente da . Questa congettura, che prende il nome dal matematico Marshall Hall, Jr., deriva da alcune considerazioni sui punti interi della curva di Mordell, nella teoria delle curve ellittiche.
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]La versione originale della congettura, formulata da Marshall Hall nel 1970, afferma che esista una costante C tale che, per ogni coppia di interi x e y tali per cui y2 ≠ x3, vale che
Forma debole
[modifica | modifica wikitesto]Una versione debole della congettura, dovuta a Stark e Trotter intorno al 1980, rimpiazza la radice quadrata a destra della disuguaglianza con un qualsiasi esponente minore di 1/2. In altre parole, afferma che per ogni ε > 0 esiste una costante C(ε) dipendente da ε tale che, per ogni coppia di interi x e y tali per cui y2 ≠ x3, vale che
Progressi
[modifica | modifica wikitesto]- Originariamente lo stesso Hall pensava che la costante potesse essere presa circa come 1/5. Ma nel 1998 Elkies trovò il controesempio:
- per il quale C sarebbe circa 1/50, ovvero un decimo di quanto proposto da Hall.
- Nel 1982 Danilov ha dimostrato che la congettura è falsa se si sostituisce la radice quadrata con qualsiasi esponente maggiore di 1/2.
- Nel 1965 Davenport aveva dimostrato un risultato analogo nel caso dei polinomi: se f(t) e g(t) sono polinomi non nulli in C tali che g(t)3 ≠ f(t)2 in C[t], allora
- La forma debole della congettura sarebbe una conseguenza della congettura abc[1]
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Wolfgang M. Schmidt, Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467, 2nd, Springer-Verlag, 1996, pp. 205–206, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag, 2004, D9, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001.
- Marshall Hall, Jr., The Diophantine equation x3 - y2 = k, in A.O.L. Atkin e B. J. Birch (a cura di), Computers in Number Theory, 1971, pp. 173–198, ISBN 0-12-065750-3, Zbl 0225.10012.
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Pagina di Noam Elkies sul problema.