Nella moderna teoria degli insiemi, per classe si intende una generica collezione di oggetti che possono essere univocamente identificati (per esempio, tramite una proprietà che li accomuni).
Tutti gli insiemi sono classi, ma non è vero il contrario. Una classe che non sia un insieme si dice classe propria.
La distinzione tra classe e insieme è necessaria per evitare i paradossi che emergono dalla teoria ingenua degli insiemi, come il paradosso di Russell.
Una classe propria non può appartenere a un altro insieme o classe e non è soggetta agli assiomi di Zermelo-Fraenkel, che di fatto definiscono una teoria in cui questi oggetti non sono contemplati. Un'assiomatizzazione della teoria degli insiemi che comprenda le classi proprie è data dagli assiomi di Von Neumann-Bernays-Gödel, dove le classi sono gli oggetti fondamentali e gli insiemi vengono definiti come quelle classi che sono elementi di qualche altra classe.
Diversi oggetti che ricorrono in matematica sono troppo "grandi" per essere insiemi; una teoria che comprenda le classi proprie è quindi necessaria in branche quali la teoria delle categorie o l'analisi non-standard.
La parola "classe" è talvolta usata come sinonimo di "insieme", soprattutto nel termine "classe di equivalenza". Questo uso risale a un periodo storico in cui classi e insiemi non erano distinti come nella terminologia moderna. Molte discussioni sulle "classi" del XIX secolo in realtà erano riferite a quelli che con terminologia successiva saranno definiti insiemi.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) class, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Classe, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Classe, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
