Nato a Rotherham, nel South Yorkshire, Swift iniziò a pedalare a tre anni e mezzo d'età,^[1] cominciando quindi l'attività ciclistica su pista a 12 anni di età con il club Mossley CRT. Nel 2003 fu secondo, dietro il futuro olimpionico Steven Burke, nello scratch al campionato nazionale Under-16. Tra gli juniores (Under-19) vinse il bronzo nella corsa a punti ai Giochi del Commonwealth Junior, oltre a due titoli nazionali juniores, nella corsa a punti nel 2004 e nello scratch nel 2005. Nel 2005 partecipò anche alla corsa a punti open dei campionati nazionali, concludendo al terzo posto.

Iniziò a competere anche a livello internazionale, vincendo diversi eventi nell'americana. Nel luglio del 2007 vinse la medaglia d'oro nell'inseguimento a squadre Under-23 ai campionati europei su pista di Cottbus. Fece il suo debutto insieme ai professionisti su strada nell'agosto del 2007, tra le file del team Barloworld, che lo inserì in rosa come stagista. Nel breve periodo prima della fine della stagione riuscì a vincere la classifica scalatori al Tour of Britain;^[1] nella stagione successiva non venne però confermato.

Durante il 2008 corse su strada con la squadra della Federciclismo britannica, conquistando le prime vittorie in gare UCI (Coppa della Pace, una tappa al Giro della Valle d'Aosta). Rappresentò quindi la Gran Bretagna ai Giochi olimpici di Pechino – gareggiò nella corsa in linea – e ai Campionati del mondo su strada, concludendo quarto nella corsa in linea Under-23.^[1] Dopo i mondiali firmò un contratto di due anni da professionista con la nuova squadra russa Katusha.^[2]

Nel 2009, al primo effettivo anno da pro, si mise in luce con diversi piazzamenti su strada: concluse infatti secondo alla Nokere Koerse, poi secondo, terzo e quarto nella tappe della Vuelta al País Vasco. Scelto dal suo team per partecipare al Giro d'Italia, si classificò terzo nella seconda tappa, concludendo poi la corsa al 132º posto. Chiuse la stagione con la vittoria della settima tappa del Tour of Britain. Il suo passaggio per la stagione 2010 dalla Katusha al Team Sky, nonostante fosse ancora sotto contratto con la squadra russa, spinse l'Unione Ciclistica Internazionale a considerare nuove regole per i trasferimenti dei corridori tra i team.^[3]

Nel 2010 debuttò ai campionati del mondo su pista di Ballerup, facendo sua la medaglia d'argento nell'inseguimento a squadre. Su strada, oltre ad alcuni piazzamenti al Giro d'Austria, vinse invece una tappa e la classifica finale del Tour de Picardie, in Francia. Nel gennaio dell'anno dopo ottenne le prime vittorie nel calendario dell'UCI World Tour, aggiudicandosi la seconda e la sesta tappa del Tour Down Under in Australia (chiuderà la gara al terzo posto).^[1] Vinse poi una frazione alla Vuelta a Castilla y León, una al Tour de Romandie (altro evento UCI World Tour) e una al Tour of California.

Nel 2012 partecipò ai campionati del mondo su pista cogliendo tre medaglie, l'oro nello scratch e l'argento nella corsa a punti e nell'americana, in coppia con Geraint Thomas.^[1] Nel prosieguo di stagione conquistò il successo in due frazioni e nella classifica a punti del Tour de Pologne, e due podi di tappa alla Vuelta a España; venne anche selezionato in Nazionale per la prova in linea dei campionati del mondo su strada di Valkenburg.

Dal 2013 cominciò a dedicarsi unicamente alle gare su strada, ma in stagione non andò oltre alcuni piazzamenti, quali il terzo posto al Trofeo Palma e il terzo ai campionati nazionali a cronometro. L'anno seguente, subito dopo il terzo posto nella prestigiosa Milano-Sanremo vinta in volata da Alexander Kristoff, riuscì ad aggiudicarsi la cronometro a squadre e una frazione alla Settimana Internazionale di Coppi e Bartali, e una tappa alla Vuelta al País Vasco. Partecipò poi al Giro d'Italia, ottenendo il secondo posto nella tappa di Dublino, e si piazzò secondo nei campionati nazionali in linea e alla RideLondon Classic, e dodicesimo, miglior britannico, ai campionati del mondo di Ponferrada.

Nel 2015, dopo alcuni piazzamenti a inizio stagione, vinse una tappa alla Settimana Internazionale di Coppi e Bartali. Una caduta in maggio al Tour de Yorkshire gli causò però una lesione alla spalla, costringendolo a sottoporsi a un intervento chirurgico.^[4] Tornato alle corse in agosto, si piazzò terzo alla RideLondon Classic. L'anno dopo non colse successi, ma solo piazzamenti: podi di tappa al Santos Tour Down Under, alla Vuelta a Andalucía (in cui fece sua la classifica a punti) e alla Parigi-Nizza, il secondo posto in volata, battuto dal solo Arnaud Démare, alla Milano-Sanremo, quindi ancora podi di tappa alla Volta Ciclista a Catalunya, al Tour du Poitou-Charentes e al Tour of Britain.

Nel 2017 lascia dopo sette anni Sky per trasferirsi alla nuova UAE Team Emirates di Giuseppe Saronni, andando così ad affiancare Sacha Modolo e Andrea Guardini tra i velocisti di punta della squadra.^[5] Durante l'anno non ottiene però vittorie, partecipa comunque al Tour de France e mette a referto il secondo posto sull'Alpe d'Huez al Critérium du Dauphiné e il quinto posto ai campionati del mondo di Bergen. Anche nel 2018 non andò oltre alcuni piazzamenti Top 10, e nel 2019 tornò al Team Sky.

• 2004 (juniores)

Campionati britannici, Corsa a punti juniores

• 2005 (juniores)

Campionati britannici, Scratch juniores

• 2007

Campionati europei, Inseguimento a squadre Under-23 (con Jonathan Bellis, Steven Burke e Peter Kennaugh)

• 2012

Campionati del mondo, Scratch