Variabili di Mandelstam
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Mandelstam.svg/220px-Mandelstam.svg.png)
In fisica teorica le variabili di Mandelstam sono grandezze fisiche che rappresentano energia, impulso e angoli delle particelle in processi di scattering in un sistema Lorentz-invariante. Vengono usate nel caso di urti elastici tra due particelle.
Le variabili di Mandelstam sono definite come:
dove p1 e p2 sono i quadri-impulsi delle particelle incidenti mentre p3 e p4 sono i quadri-impulsi delle particelle uscenti.
s rappresenta il quadrato dell'energia nel sistema del centro di massa ( , dove indica la massa invariante del sistema ) e t il quadrato della quantità di impulso trasferito durante l'urto.
Diagrammi di Feynman
[modifica | modifica wikitesto]Le lettere possono essere anche usate per individuare processi in canale-s, canale-t e canale-u. Questi canali rappresentano differenti tipi di diagrammi di Feynman o differenti processi di scattering quando l'interazione comporta lo scambio di una particella intermedia che possiede un momento ,
Per esempio il canale-s corrisponde ad un processo in cui le particelle 1,2 interagiscono generando una particella intermedia, che infine decade nelle particelle 3 e 4: il canale-s è l'unico modo in cui si possono scoprire risonanze e nuove particelle instabili purché abbiano un tempo di vita sufficiente per essere rivelate.
Il canale-t rappresenta un processo in cui la particella 1 emette una particella intermedia e diventa la particella 3 dello stato finale, mentre la particelle 2 interagisce con la particella intermedia e diventa 4. Il canale-u è il canale-t nel quale si è scambiato il ruolo delle particelle 3 e 4.
Limite per alte energie
[modifica | modifica wikitesto]Nel limite ultrarelativistico la massa può essere trascurata, quindi, ad esempio:
dal momento che e (c =1).
In questo limite le variabili possono essere scritte come
Addizione
[modifica | modifica wikitesto]Una proprietà di queste variabili è che la loro somma è pari alla somma dei quadrati delle masse delle particelle coinvolte (avendo posto c =1):
- .
Per la dimostrazione sono necessarie due considerazioni:
- il modulo quadro del quadri-impulso di una particella è il quadrato della sua massa,
- e la conservazione del quadri-impulso,
Si inizia scrivendo le tre variabili come:
usando la (1) si può scrivere:
ora, sommando le tre equazioni si trova:
quindi, in conclusione:
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) S. Mandelstam, Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity, in Phys. Rev., vol. 112, n. 4, 1958, p. 1344, DOI:10.1103/PhysRev.112.1344. URL consultato il 22 maggio 2018 (archiviato dall'url originale il 28 maggio 2000).
- (EN) Francis Halzen e Alan Martin, Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, John Wiley & Sons, 1984, ISBN 0-471-88741-2.
- (EN) Donald H. Perkins, Introduction to High Energy Physics, 4ª ed., Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-62196-8.