Estremo superiore e estremo inferiore

In matematica, l'estremo superiore di un insieme ${\displaystyle E}$ contenuto in un insieme ordinato ${\displaystyle X}$ è il più piccolo elemento dei maggioranti di ${\displaystyle E}$.

In modo duale, l'estremo inferiore di ${\displaystyle E}$ è definito come il più grande elemento dei minoranti di ${\displaystyle E}$.

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad ${\displaystyle E}$ oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

I concetti di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.

Siano ${\displaystyle (X,\leq )}$ un insieme totalmente ordinato, ${\displaystyle E\subseteq X}$. Se esiste un elemento ${\displaystyle y\in X}$ tale che:

• ${\displaystyle y}$ è un maggiorante di ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle \nexists z\in X}$ tale che ${\displaystyle z}$ è un maggiorante di ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle z<y}$ (cioè il maggiorante più piccolo è ${\displaystyle y}$ stesso)

si dice che ${\displaystyle y}$ è estremo superiore di ${\displaystyle E}$, in simboli ${\displaystyle y=\sup E}$.

Se invece esiste un elemento ${\displaystyle x\in X}$ tale che:

• ${\displaystyle x}$ è un minorante di ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle \nexists a\in X}$ tale che ${\displaystyle a}$ è un minorante di ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle a>x}$ (cioè il minorante più grande è ${\displaystyle x}$ stesso)

si dice che ${\displaystyle x}$ è estremo inferiore di ${\displaystyle E}$, in simboli ${\displaystyle x=\inf E}$. Se l'insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l'insieme si dice limitato superiormente, mentre se l'insieme dei minoranti è non vuoto l'insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l'estremo inferiore, allora l'insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l'estremo superiore l'insieme è limitato superiormente. Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

Se si considera un insieme ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{*}}$ della retta reale estesa, questo ha sicuramente estremo superiore ed estremo inferiore. Ciò è garantito dall'assioma di Dedekind, che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è completo e dalla convenzione che, se ${\displaystyle E}$ non è limitato superiormente (inferiormente) in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: ${\displaystyle \sup E=+\infty }$ e/o ${\displaystyle \inf E=-\infty }$.

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.

• ${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3}$

In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. Si ha che ${\displaystyle 3}$ è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme e ogni numero reale minore di ${\displaystyle 3}$ non è maggiorante dell'insieme;

• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\inf(0,1)=0}$

L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti ${\displaystyle 0}$ non appartiene all'insieme;

• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=\sup[0,1]=1}$

L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

• ${\displaystyle \inf\{y\in \mathbb {R} :y=1/x,x>0\}=\inf(0,\infty )=0}$

anche in questo caso l'estremo inferiore non appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona ${\displaystyle 1/x}$ per ${\displaystyle x\to \infty }$

• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 4\}=2}$

l'estremo superiore coincide con il massimo;

• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<4\}=2}$

come prima ma l'insieme non ha massimo;

• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}}$

in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma l'estremo superiore non coincide con il massimo, poiché l'insieme non ha massimo.

Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {Q} }$ definito come:

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\}}$

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ e ${\displaystyle x\geq 2}$, ${\displaystyle x}$ è maggiorante di ${\displaystyle E}$. L'insieme però non ha estremo superiore (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ non appartiene a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

Spesso si incontrano notazioni del tipo:

${\displaystyle y=\inf _{x\in A}f(x)}$

dove ${\displaystyle f}$ è una funzione a valori reali su un dominio qualsiasi e ${\displaystyle A}$ è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

${\displaystyle y=\inf\{z=f(x),x\in A\}}$

indica cioè l'estremo inferiore dell'immagine di ${\displaystyle A}$ mediante ${\displaystyle f}$.

Un primo esempio è

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }x^{2}=+\infty }$

Infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente.

Considerando invece:

${\displaystyle \inf _{x\in [0,1]}x^{2}=0}$

e anche:

${\displaystyle \inf _{x\in (0,1)}x^{2}=0}$

in questo caso però ${\displaystyle 0}$ non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio).

Altri esempi sono:

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }-\exp(-x)=0\qquad \sup _{x\in (-1,1)}{-x^{2}+1}=1}$

Come si è visto in uno degli esempi precedenti, esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Sia ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ una funzione monotona in ${\displaystyle (a,b)}$. Allora esistono:

${\displaystyle \lim _{x\to b_{-}}f(x)\qquad \lim _{x\to a_{+}}f(x)}$

e si ha (nel caso sia ${\displaystyle f}$ non decrescente):

${\displaystyle \lim _{x\to b_{-}}f(x)=\sup _{x\in (a,b)}f(x)}$ e ${\displaystyle \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\inf _{x\in (a,b)}f(x)}$

con risultati speculari se ${\displaystyle f}$ è invece non crescente.

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

• Funzione monotona
• Limite superiore e limite inferiore
• Maggiorante e minorante
• Relazione d'ordine

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su estremo superiore e estremo inferiore

• (EN) L.D. Kudryavtsev, Upper and lower bounds, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) supremum, in PlanetMath.

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