Bipolo

Un bipolo, in elettrotecnica, è un elemento circuitale dotato di due morsetti che gli consentono di interagire con i fenomeni elettromagnetici esterni e il cui comportamento agli effetti esterni è completamente definito dal legame costitutivo tra tensione e corrente.

In automatica è assimilabile a un modello black box il cui comportamento è definito da una funzione di trasferimento.

Le proprietà fondamentali del bipolo sono due: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è, a meno del segno, uguale a quella uscente.

La descrizione del campo elettromagnetico è basata sulle equazioni di Maxwell e in particolare la sua dinamica è descritta dalla legge di Faraday e dalla legge di Ampère-Maxwell, rispettivamente:^[1]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

Nel caso di regime stazionario, ovvero a flusso magnetico e flusso elettrico costanti come in corrente continua, le correnti dovute alla variazione del campo elettromagnetico e alla polarizzazione elettrica e magnetica sono nulle quindi le due equazioni possono essere semplificate come segue:^[2]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0\qquad \qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}}$

Queste semplificazioni possono essere ritenute valide anche nel caso sia verificata la condizione di Max Abraham, in un regime variabile infatti, se la lunghezza d'onda del campo elettromagnetico ${\displaystyle \lambda }$ è molto superiore alle dimensioni del sistema elettromagnetico ${\displaystyle \lambda \gg L}$ allora il tempo che il fronte d'onda impiega ad attraversare tutto il sistema può essere considerato nullo e di conseguenza il regime variabile in esame può essere considerato quasi stazionario, semplificazione che consente l'utilizzo delle equazioni di Maxwell trascurando le variabili spaziali e ottenere quindi un modello a parametri concentrati.^[3] Considerato che la corrente alternata è distribuita in Europa, Asia e Africa alla frequenza di 50 Hz (in America e parte del Giappone a 60 Hz) allora la condizione di Max Abraham è rispettata per sistemi con dimensioni molto inferiori a una lunghezza d'onda di circa 6000 km, di conseguenza nelle linee di trasmissione è necessario adottare un modello a parametri distribuiti.^[4]

Un bipolo è un elemento costituito dall'unione tra una superficie chiusa e una porta elettrica formata da due conduttori aventi per estremi una coppia ordinata di morsetti ${\displaystyle \{A,B\}}$ in regime quasi stazionario. Da questa definizione derivano le due proprietà fondamentali del bipolo: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è uguale in modulo a quella uscente.^[5]

In regime quasi stazionario il campo elettrico ${\displaystyle \mathbf {E} }$ è un campo vettoriale conservativo infatti ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$ ed è quindi esprimibile come gradiente di un potenziale scalare, il potenziale elettrico: ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$. In forma globale si ha allora che l'integrale tra ${\displaystyle \{A,B\}}$ sul cammino ${\displaystyle \Gamma _{AB}}$ per il teorema del gradiente è:

${\displaystyle \int _{\Gamma _{AB}}\mathbf {E} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {l} }=\int _{A}^{B}-\nabla V\cdot {\mathrm {d} \mathbf {l} }=V_{A}-V_{B}}$

La tensione ${\displaystyle V_{AB}}$ ai morsetti del bipolo allora è pari alla differenza di potenziale elettrico tra le due superfici di livello passanti per i morsetti ${\displaystyle \{A,B\}}$ ed è indipendente dal cammino di integrazione ${\displaystyle \Gamma _{AB}}$.^[6]

In regime quasi stazionario l'unica corrente presente è quella di conduzione che è determinata dal campo di densità di corrente delle cariche libere ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$. Si ottiene allora che la corrente di conduzione ${\displaystyle I_{A}}$ entrante nel morsetto ${\displaystyle A}$ con sezione ${\displaystyle \mathbf {S} _{A}}$ di superficie ${\displaystyle S_{A}}$ e orientamento normale è pari a meno del segno alla corrente ${\displaystyle I_{B}}$ uscente dal morsetto ${\displaystyle B}$ di sezione ${\displaystyle \mathbf {S} _{B}}$:^[6]

${\displaystyle I_{A}=\int _{S_{A}}{\mathbf {J} _{f}}\cdot {\mathrm {d} \mathbf {S} }=-\int _{S_{B}}{\mathbf {J} _{f}}\cdot {\mathrm {d} \mathbf {S} }=-I_{B}}$

Siccome la superficie chiusa del bipolo è impermeabile a ogni fenomeno elettromagnetico allora agli effetti esterni questo è completamente identificato dalla conoscenza della tensione e della corrente ai suoi morsetti, unici punti in cui il bipolo può comunicare attraverso fenomeni elettromagnetici con l'esterno.^[6]

Il comportamento agli effetti esterni di un bipolo è completamente definito dal legame costitutivo che intercorre tra le funzioni rispetto al tempo di tensione ${\displaystyle v(t)}$ e corrente ${\displaystyle i(t)}$. Se il legame è definito da:

${\displaystyle f(V,I)=0}$

allora il bipolo si dice stazionario. Se invece la caratteristica tensione-corrente è della forma:

${\displaystyle f(v(t),i(t),d/dt,\int dt)=0}$

cioè le grandezze variano nel tempo e appaiono derivate e integrali delle tensioni e delle correnti, allora il bipolo è detto dinamico. la caratteristica tensione-corrente del bipolo è in genere rappresentabile con una o più curve nel grafico V-I. Il bipolo stazionario ha una sola caratteristica mentre il bipolo dinamico ne ha infinite a seconda del regime di funzionamento: per esempio imponendo una certa corrente se ne calcola la tensione ai capi (bipolo controllato in corrente). Un altro modo di esprimere la caratteristica è:

${\displaystyle v=f(i)}$

oppure

${\displaystyle i=g(v)}$

Ebbene a seconda della caratteristica il bipolo è lineare se la caratteristica è lineare cioè della forma (per esempio):

${\displaystyle v=k\cdot i}$

Che su un diagramma tensione-corrente rappresenta appunto, una retta passante per l'origine.

Valgono inoltre le proprietà dell'additività e dell'omogeneità (proprietà degli omomorfismi):

${\displaystyle f(i_{1}+i_{2})=f(i_{1})+f(i_{2})}$

${\displaystyle f(\alpha i)=\alpha f(i)}$

con ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Potenza elettrica.

Un bipolo è assimilabile a un sistema termodinamico che scambia lavoro elettrico ${\displaystyle L_{e}}$ con l'esterno tramite i suoi morsetti, mentre tramite la sua superficie chiusa scambia lavoro non elettrico ${\displaystyle L}$ in modo reversibile e calore ${\displaystyle Q}$. Secondo il primo principio della termodinamica allora definite l'energia potenziale elettrica ${\displaystyle U_{e}}$ e l'energia magnetica ${\displaystyle U_{m}}$ accumulate nel bipolo si ha che:^[7]

${\displaystyle \delta {L_{e}}=\delta Q+\mathrm {d} U_{e}+\mathrm {d} U_{m}-\delta {L}}$

Definita la potenza elettrica ${\displaystyle p=vi}$ allora il lavoro elettrico scambiato da un bipolo è ${\displaystyle \delta {L_{e}}=p\ \mathrm {d} t=vi\ \mathrm {d} t}$.

Bipolo che trasforma irreversibilmente il lavoro elettrico in calore.

${\displaystyle \delta {L_{e}}=\delta Q}$

Il componente elettrico corrispondente è il resistore. Si tratta di un bipolo lineare e passivo in quanto la sua potenza è sempre assorbita. L'energia del resistore è trasformata in calore irreversibilmente per effetto Joule. L'equazione costitutiva che caratterizza un resistore attraversato da una corrente elettrica i e sottoposto ad una tensione elettrica v risulta essere:

${\displaystyle v=Ri}$

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia potenziale elettrica.

${\displaystyle \delta {L_{e}}=\mathrm {d} U_{e}}$

Il componente elettrico corrispondente è il condensatore. Tra i bipoli dinamici vi sono i condensatori con caratteristica dinamica:

${\displaystyle i(t)=C\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}}$

dove ${\displaystyle C}$ è la capacità. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo ${\displaystyle t_{0}}$ della tensione. Inoltre il condensatore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere ${\displaystyle p(t)=0}$. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia magnetica e il componente elettrico corrispondente è l'induttore.

${\displaystyle \delta {L_{e}}=\mathrm {d} U_{m}}$

Il componente elettrico corrispondente è l'induttore. Tra i bipoli dinamici vi sono gli induttori con caratteristica dinamica:

${\displaystyle v(t)=L\cdot {\frac {di(t)}{dt}}}$

dove ${\displaystyle L}$ è l'induttanza. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo ${\displaystyle t_{0}}$ della corrente. Inoltre l'induttore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere ${\displaystyle p(t)=0}$. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo che trasforma reversibilmente lavoro elettrico in lavoro non elettrico.

${\displaystyle \delta {L_{e}}=-\delta L}$

Il componente elettrico corrispondente è l'utilizzatore nel caso di lavoro elettrico assorbito o il generatore nel caso di lavoro elettrico generato. Gli elementi che forniscono energia sotto forma di tensione sono i generatori: in particolare il generatore di tensione ideale e il generatore di corrente ideale. Essi sono detti ideali perché teoricamente possono fornire tensioni o correnti indefinitamente nel tempo e senza dissipazione. In realtà questo non è mai vero. Le caratteristiche del generatore sono lineari e quindi il bipolo generatore è lineare, inoltre essi possono fornire energia o anche dissiparla e quindi sono bipoli attivi ma anche passivi.

A seconda della trasformazione energetica o in generale dell'energia associata ad un bipolo, questo può essere attivo o passivo. Consideriamo un bipolo e calcoliamo l'energia tra due istanti di tempo ${\displaystyle t_{0},t}$:

${\displaystyle \Delta W=\int _{t_{0}}^{t}p(t)\,dt}$

ebbene se tale energia è sempre positiva data la convenzione dell'utilizzatore: ${\displaystyle \Delta W\geqslant 0}$ allora il bipolo è detto passivo (strettamente passivo se ${\displaystyle \Delta W>0}$), cioè il bipolo assorbe energia. Viceversa se ${\displaystyle \Delta W\leqslant 0}$ allora il bipolo eroga (ossia attua un assorbimento negativo di energia) ed è detto attivo (strettamente attivo se ${\displaystyle \Delta W<0}$). Il caso ${\displaystyle \Delta W=0}$ è un caso particolare che implica che il bipolo conserva l'energia.

• Adriano Paolo Morando e Sonia Leva, Elettrotecnica reti campi, 2ª ed., Bologna, Società Editrice Esculapio, 2001 [1998], ISBN 88-86524-21-8.

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