Teorema del flusso

Si supponga di avere una sorgente ${\displaystyle q}$ all'interno di un volume ${\displaystyle V}$ delimitato dalla superficie ${\displaystyle \partial V}$. Il campo ${\displaystyle F_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}}$ generato forma con l'elemento di superficie ${\displaystyle {\mbox{d}}S}$ di ${\displaystyle \partial V}$ un angolo ${\displaystyle \theta }$, sicché:

${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S={\frac {F_{1}\cos \theta }{r^{2}}}{\mbox{d}}S}$

dove ${\displaystyle \mathbf {n} }$ è il versore normale alla superficie. Dato che l'elemento di angolo solido sotteso a ${\displaystyle {\mbox{d}}S}$ rispetto alla posizione di ${\displaystyle q}$ è ${\displaystyle {\mbox{d}}\Omega ={\frac {\cos \theta }{r^{2}}}{\mbox{d}}S}$ si ha:^[1]

${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S=F_{1}{\mbox{d}}\Omega }$

Il flusso uscente attraverso la superficie ${\displaystyle \partial V}$ è quindi:

${\displaystyle \Phi _{\partial V}(\mathbf {F} )=\int _{\partial V}(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S=F_{1}\int _{V}{\mbox{d}}\Omega }$

in cui l'integrale completo dell'angolo solido è pari a ${\displaystyle 4\pi }$.

Sia ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}=F_{1}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$ come nell'enunciato sopra. ${\displaystyle \forall r\neq 0}$ vale che:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F)}{\partial r}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F_{1}{\frac {1}{r^{2}}})}{\partial r}}=0}$ (calcolo della divergenza in coordinate sferiche)

Si consideri quindi un qualsiasi compatto ${\displaystyle V\subseteq R^{3}}$ delimitato da una superficie liscia a tratti ${\displaystyle {\partial V}}$ che non contenga l'origine (punto di singolarità del campo). Essendo ${\displaystyle \mathbf {F} \in C^{1}(V)}$, vale il teorema della divergenza e quindi:

${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,dV=0}$ perché la divergenza è nulla in tutto V

E quindi il flusso è nullo per qualsiasi superficie chiusa che non racchiude l'origine.

Supponiamo ora che ${\displaystyle {\partial V}}$ racchiuda al suo interno l'origine. Il teorema della divergenza (nella versione usata sopra) NON è applicabile in quanto ${\displaystyle \mathbf {F} \notin C^{1}(V)}$ (non è neanche continua nell'origine).

Sia allora ${\displaystyle \partial {B_{r}(0)}}$ la superficie che delimita una sfera di raggio r centrata nell'origine (con raggio abbastanza piccolo essere contenuta in V) e ${\displaystyle W=V\setminus B_{r}(0)}$ il volume V senza la sfera. Vale ora che ${\displaystyle \mathbf {F} \in C^{1}(W)}$ e quindi il flusso lungo ${\displaystyle {\partial W}}$ (che è una superficie chiusa) è nullo perché l'origine è esterna alla superficie. Inoltre

${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =(\oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} -\oint _{\partial B_{r}(0)}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} )+\oint _{\partial B_{r}(0)}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =}$

${\displaystyle \oint _{\partial W}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{r}(0)}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =0+\oint _{\partial B_{r}(0)}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =}$

${\displaystyle \oint _{\partial B_{r}(0)}F_{1}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}\cdot \mathbf {e} _{r}dS={\frac {F_{1}}{r^{2}}}\oint _{\partial B_{r}(0)}dS={\frac {F_{1}}{r^{2}}}4\pi r^{2}=4\pi F_{1}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Campo elettrico e Induzione elettrica.

Il campo elettrico nel punto ${\displaystyle \mathbf {r} }$ generato da una carica totale ${\displaystyle Q_{V}}$ posta nel punto ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ vale:

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {Q_{V}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}}$

Si ottiene che il flusso attraverso il bordo ${\displaystyle \partial V}$ di un volume ${\displaystyle V}$ è dato da:

${\displaystyle \Phi _{\partial V}(\mathbf {D} )=Q_{V}}$

mentre se la superficie ${\displaystyle \partial V}$ non contiene ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ il flusso è nullo. Nel caso di più cariche puntiformi interne alla superficie:

${\displaystyle \Phi _{\partial V}(\mathbf {D} )=\sum _{k}q_{k}}$

e passando al continuo si ha:^[3]

${\displaystyle \Phi _{\partial V}(\mathbf {D} )=\int _{V}\rho \;{\mbox{d}}v}$

dove ${\displaystyle \rho }$ è la densità delle cariche libere, cioè senza contare le cariche di polarizzazione. Grazie al teorema della divergenza, uguagliando gli integrandi si ottiene:^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =\rho }$

Tale relazione è la prima delle equazioni di Maxwell, ed è valida quasi ovunque: la densità di carica diverge infatti dove sono presenti cariche localizzate.

Nel caso di materiale lineare, omogeneo e isotropo (come il vuoto), la permittività elettrica relativa ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ è un numero (e non un tensore) e si ha ${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {D} /\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$. Si può quindi applicare il teorema di Gauss direttamente al campo elettrico:^[5]

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Q_{V}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}}$

Il teorema assume così le seguenti formulazioni globale e locale:^[6]

${\displaystyle \Phi _{\partial V}(\mathbf {E} )={\frac {Q_{V}}{\varepsilon }}\qquad {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}}$

dove ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Campo magnetico.

A causa dell'assenza di monopoli magnetici, il teorema di Gauss applicato all'induzione magnetica ${\displaystyle \mathbf {B} }$ assume semplicemente la forma:^[7]

${\displaystyle \Phi _{\partial V}(\mathbf {B} )=\oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot {\mbox{d}}\mathbf {S} =0\qquad {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}$

che esprime la solenoidalità del campo magnetico. In particolare, la seconda delle due relazioni è la seconda equazione di Maxwell.

La legge di Biot-Savart concorda con la legge di Gauss per l'induzione magnetica, infatti:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\frac {\mu I}{4\pi }}\oint _{\partial S}{\frac {\mathbf {{\mbox{d}}r} \,'\times \partial \mathbf {r} }{|\partial \mathbf {r} |^{3}}}={\frac {\mu I}{4\pi }}\oint _{\partial S}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\mbox{d}}\mathbf {r} \,'\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{|\partial \mathbf {r} |^{3}}}\right)=-{\frac {\mu I}{4\pi }}\oint _{\partial S}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\mbox{d}}\mathbf {r} \,'\times {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {1}{|\partial r|}}\right)}$

Utilizzando l'identità del prodotto triplo:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {b} }$

si ottiene:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\mu I}{4\pi }}\oint _{\partial S}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {{\mbox{d}}r} \,'\right)\cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {1}{|\partial r|}}+{\frac {\mu I}{4\pi }}\oint _{\partial S}\mathbf {{\mbox{d}}r} \,'\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {1}{|\partial r|}}=0}$

Tale espressione è identicamente nulla poiché l'operatore nabla agisce sulle coordinate ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$, e non sulle coordinate primate dalle quali dipende la variabile di integrazione, ed inoltre il rotore di un gradiente è identicamente nullo, in quanto i campi conservativi sono irrotazionali.

A questo punto è possibile passare dalla forma differenziale a quella integrale: se la divergenza del vettore ${\displaystyle \mathbf {B} }$ è identicamente nulla, un suo qualunque integrale di volume sarà anch'esso nullo. E dunque, sfruttando il teorema della divergenza, il flusso di ${\displaystyle \mathbf {B} }$ attraverso la frontiera del volume sarà nullo.