Equazione di Sylvester

L'equazione di Sylvester, spesso incontrata in teoria del controllo, è un'equazione matriciale della forma

${\displaystyle AX+XB=C,}$

dove ${\displaystyle A,B,X,C}$ sono matrici di dimensione ${\displaystyle n\times n}$. ${\displaystyle A,B,C}$ sono note. Il problema consiste nel trovare ${\displaystyle X}$. L'equazione di Sylvester è un caso particolare dell'equazione di Lyapunov continua (quando la matrice A è hermitiana).

Usando il prodotto di Kronecker e l'operatore di vettorializzazione ${\displaystyle \operatorname {vec} }$, si può riscrivere l'equazione nella forma

${\displaystyle (I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$

dove ${\displaystyle I_{n}}$ è la matrice identità di dimensione ${\displaystyle n\times n}$. In questa forma, l'equazione di Sylvester può essere vista come un sistema lineare di dimensione ${\displaystyle n^{2}\times n^{2}}$.^[1]

Se ${\displaystyle L}$ e ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle A=ULU^{-1}}$ e ${\displaystyle B^{T}=VMV^{-1}}$ sono le forme canoniche di Jordan rispettivamente di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B^{T}}$, e ${\displaystyle \lambda _{i}}$ e ${\displaystyle \mu _{j}}$ sono rispettivamente i loro autovalori, si può scrivere

${\displaystyle I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n}=(V\otimes U)(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})(V\otimes U)^{-1}.}$

Dato che ${\displaystyle (I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})}$ è una matrice triangolare superiore con ${\displaystyle \lambda _{i}+\mu _{j}}$ sulla diagonale , la matrice a sinistra dell'equazione è singolare se e solo se esistono ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$ tali che ${\displaystyle \lambda _{i}=-\mu _{j}}$.

Quindi, si è provato che l'equazione di Sylvester ha un'unica soluzione se e solo se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle -B}$ non hanno autovalori in comune. È inoltre possibile provare che se la matrice ${\displaystyle A}$ è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è la matrice gramiana di controllabilità.

Un classico algoritmo per la risoluzione numerica dell'equazione di Sylvester è l'algoritmo di Bartels-Stewart, che consiste nel trasformare le matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ nella loro decomposizione di Schur tramite un algoritmo QR e poi risolvere il sistema triangolare ottenuto sostituendo all'indietro. Questo algoritmo, il cui costo computazionale è O${\displaystyle (n^{3})}$ operazioni aritmetiche, viene utilizzato, tra i tanti, da LAPACK e dalla funzione lyap in GNU Octave.

• J. Sylvester, Sur l'equations en matrices ${\displaystyle px=xq}$, C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.
• R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation ${\displaystyle AX+XB=C}$, Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.
• R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation ${\displaystyle AX-XB=Y}$ ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.
• S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

• Equazione di Lyapunov
• Equazione algebrica di Riccati

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