Funzione base-13 di Conway

La funzione base-13 di Conway è una funzione costruita dal matematico britannico John H. Conway. La funzione soddisfa la tesi del teorema dei valori intermedi senza essere continua.

Il teorema dei valori intermedi asserisce che ogni funzione continua ${\displaystyle f}$ definita su un intervallo reale soddisfa la proprietà seguente: se ${\displaystyle a,b}$ sono due punti dell'intervallo tali che ${\displaystyle f(a)<f(b)}$ e ${\displaystyle x}$ è un numero reale tale che ${\displaystyle f(a)<x<f(b)}$ allora esiste un ${\displaystyle c}$ compreso fra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ tale che ${\displaystyle f(c)=x}$.

La funzione base-13 di Conway è una funzione discontinua in ogni punto che soddisfa comunque la tesi del teorema. Gli unici esempi noti precedentemente avevano discontinuità solo in alcuni punti isolati: un esempio è la funzione

${\displaystyle f(x)=\sin {\frac {1}{x}}.}$

definita su tutta la retta reale imponendo in zero il valore ${\displaystyle f(0)=0}$. Anche questa funzione soddisfa la tesi del teorema, ed è discontinua nell'origine.

La funzione base-13 di Conway è una funzione ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$ definita come segue.

Si indichino con ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots ,9,A,B,C\}}$ le cifre in base ${\displaystyle 13}$ e si consideri la rappresentazione

${\displaystyle a_{\dots }a_{m},a_{m+1}\dots a_{n}\dots }$

di ${\displaystyle x\in (0,1)}$ in tale base (rappresentazione che è unica se si esclude il caso di sequenze infinite di ${\displaystyle C}$). Allora ${\displaystyle f(x)=0}$ a meno che esista un indice ${\displaystyle j}$ tale che:

• ${\displaystyle a_{j}\in \{B,C\};}$
• ${\displaystyle a_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9,A\}}$ per ${\displaystyle i>j;}$
• esiste un unico ${\displaystyle k>j}$ tale che ${\displaystyle a_{k}=A.}$

In questo caso si definisce ${\displaystyle f(x)}$ ponendo

${\displaystyle f(x):=\pm a_{j+1}\ldots a_{k-1},a_{k+1}a_{k+2}\ldots }$

in base 10, ove il segno è ${\displaystyle +}$ se ${\displaystyle a_{j}=C}$ e ${\displaystyle -}$ se ${\displaystyle a_{j}=B}$.

La cosa importante da notare è che la funzione ${\displaystyle f}$ definita in tal modo soddisfa l'inverso del teorema dei valori intermedi, ma non è continua in nessun punto. Infatti, in ogni intervallo chiuso e limitato ${\displaystyle [a,b]}$ contenuto in ${\displaystyle (0,1)}$, ${\displaystyle f}$ assume ogni valore reale e quindi in particolare ogni valore compreso tra ${\displaystyle f(a)}$ e ${\displaystyle f(b)}$. Per vedere ciò, si noti che ogni ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ si può scrivere in base ${\displaystyle 10}$ come

${\displaystyle c=\pm b_{1}\dots b_{l},b_{l+1}\ldots }$

per opportuni ${\displaystyle b_{r}\in \{0,\dots ,9\}}$. Inoltre, è facile vedere che i numeri la cui espansione in base ${\displaystyle 13}$ è

${\displaystyle c=b_{0}b_{1}\dots b_{l}Ab_{l+1}\dots }$ (ove ${\displaystyle b_{0}=C,}$ se ${\displaystyle c>0,}$ e ${\displaystyle b_{0}=B}$ altrimenti)

sono densi in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ed in particolare ve n'è almeno uno di essi, ${\displaystyle d}$, che è compreso in ${\displaystyle [a,b]}$. Si può concludere quindi osservando che dalla definizione di ${\displaystyle f}$ si ha ${\displaystyle f(d)=c.}$

• Agboola, Adebisi, Lecture. Math CS 120, Università della California, Santa Barbara, 17 dicembre 2005.

• Teorema di Darboux

• Maurizio Codogno, La funzione base-13 di Conway, su Il Post, 3 agosto 2010. URL consultato il 3 giugno 2016.

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